Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdexg 13170
 Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdexg (𝑆𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg
Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdval 13163 . 2 (𝑆𝑉 → Word 𝑆 = 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)))
2 mapsspw 7779 . . . . . 6 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3 elfzoelz 12339 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
43ssriv 3572 . . . . . . . 8 (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5 xpss1 5151 . . . . . . . 8 ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7 sspwb 4844 . . . . . . 7 (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
86, 7mpbi 219 . . . . . 6 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
92, 8sstri 3577 . . . . 5 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
109rgenw 2908 . . . 4 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11 iunss 4497 . . . 4 ( 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
1210, 11mpbir 220 . . 3 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13 zex 11263 . . . . 5 ℤ ∈ V
14 xpexg 6858 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
1513, 14mpan 702 . . . 4 (𝑆𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16 pwexg 4776 . . . 4 ((ℤ × 𝑆) ∈ V → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝑆𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
18 ssexg 4732 . . 3 (( 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
1912, 17, 18sylancr 694 . 2 (𝑆𝑉 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
201, 19eqeltrd 2688 1 (𝑆𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ ciun 4455   × cxp 5036  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  Word cword 13146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-pm 7747  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-word 13154 This theorem is referenced by:  wrdexb  13171  wrdexi  13172  wrdnfi  13193  elovmpt2wrd  13202  elovmptnn0wrd  13203  wrd2f1tovbij  13551  frmdbas  17212  frmdplusg  17214  vrmdfval  17216  efgval  17953  frgp0  17996  frgpmhm  18001  vrgpf  18004  vrgpinv  18005  frgpupf  18009  frgpup1  18011  frgpup2  18012  frgpup3lem  18013  frgpnabllem1  18099  frgpnabllem2  18100  ablfaclem1  18307  israg  25392  wlks  26047  wlkres  26050  trls  26066  crcts  26150  cycls  26151  wwlk  26209  clwwlk  26294  rusgranumwwlkl1  26473  sseqval  29777  1wlksfval  40811  wlksfval  40812  1wlksv  40824  wwlks  41038  clwwlks  41187
 Copyright terms: Public domain W3C validator