Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revccat 13366
 Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))

Proof of Theorem revccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13212 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 13361 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 13165 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)):(0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))))⟶𝐴)
4 ffn 5958 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)):(0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))))⟶𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
6 revlen 13362 . . . . . . 7 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))
8 ccatlen 13213 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
9 lencl 13179 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
11 lencl 13179 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
13 addcom 10101 . . . . . . . 8 (((#‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑇) ∈ ℂ) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
1410, 12, 13syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
158, 14eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
167, 15eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
1716oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
1817fneq2d 5896 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ↔ (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
195, 18mpbid 221 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
20 revcl 13361 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
21 revcl 13361 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
22 ccatcl 13212 . . . . 5 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
2320, 21, 22syl2anr 494 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
24 wrdf 13165 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)):(0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))))⟶𝐴)
25 ffn 5958 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)):(0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))))⟶𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
2623, 24, 253syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
27 ccatlen 13213 . . . . . . 7 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → (#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))))
2820, 21, 27syl2anr 494 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))))
29 revlen 13362 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑇)) = (#‘𝑇))
30 revlen 13362 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑆)) = (#‘𝑆))
3129, 30oveqan12rd 6569 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
3228, 31eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
3332oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) = (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
3433fneq2d 5896 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) ↔ ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
3526, 34mpbid 221 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
36 id 22 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
3711nn0zd 11356 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
3837adantl 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
39 fzospliti 12369 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
4036, 38, 39syl2anr 494 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
41 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
42 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
43 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑇) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑇)) = (0...((#‘𝑇) − 1)))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑇)) = (0...((#‘𝑇) − 1)))
4544eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑇) − 1))))
4645biimpa 500 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)))
47 fznn0sub2 12315 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)) → (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)))
4944adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (0..^(#‘𝑇)) = (0...((#‘𝑇) − 1)))
5048, 49eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
51 ccatval3 13216 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆))) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5241, 42, 50, 51syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆))) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5315oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))
5412adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
5510adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
56 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5754, 55, 56addsubd 10292 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) = (((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)))
5853, 57eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)))
5958oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)) − 𝑥))
6059adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)) − 𝑥))
61 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑇) ∈ ℤ → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6237, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6362zcnd 11359 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6463ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6510ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
66 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6766zcnd 11359 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6867adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6964, 65, 68addsubd 10292 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆)))
7060, 69eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆)))
7170fveq2d 6107 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆))))
72 revfv 13363 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7372adantll 746 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7452, 71, 733eqtr4d 2654 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
751adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
76 uzid 11578 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑇) ∈ ℤ → (#‘𝑇) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
7738, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
789adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
79 uzaddcl 11620 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑇) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
8077, 78, 79syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
8115, 80eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
82 fzoss2 12365 . . . . . . . 8 ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)) → (0..^(#‘𝑇)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8381, 82syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑇)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8483sselda 3568 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
85 revfv 13363 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8675, 84, 85syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8720ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
8821ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
8929adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(reverse‘𝑇)) = (#‘𝑇))
9089oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘(reverse‘𝑇))) = (0..^(#‘𝑇)))
9190eleq2d 2673 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))))
9291biimpar 501 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑇))))
93 ccatval1 13214 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑇)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9487, 88, 92, 93syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9574, 86, 943eqtr4d 2654 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
968oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − 1))
9755, 54, 56addsubd 10292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − 1) = (((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)))
9896, 97eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)))
9998oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)) − 𝑥))
10099adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)) − 𝑥))
1019nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
102 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
104103zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
105104ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
106 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
107106zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
10912ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
110105, 108, 109subsub3d 10301 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))) = ((((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)) − 𝑥))
111100, 110eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))))
11289oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (#‘𝑇)))
113112oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))))
114113adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))))
115111, 114eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
116115fveq2d 6107 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑆‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))))))
117 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
118 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
119 zaddcl 11294 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ)
12037, 101, 119syl2anr 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ)
121 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
123122adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
124 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) = ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)))
125120, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) = ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)))
126125eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))))
127126biimpa 500 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)))
128 fzrev2i 12275 . . . . . . . . 9 (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
129123, 127, 128syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
13053oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
131130adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
132101adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
133 fzoval 12340 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑆)) = (0...((#‘𝑆) − 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑆)) = (0...((#‘𝑆) − 1)))
135122zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℂ)
136135subidd 10259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)) = 0)
137 addcl 9897 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℂ) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℂ)
13812, 10, 137syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℂ)
139138, 56, 54sub32d 10303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇)) = ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) − 1))
140 pncan2 10167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℂ) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) = (#‘𝑆))
14112, 10, 140syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) = (#‘𝑆))
142141oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) − 1) = ((#‘𝑆) − 1))
143139, 142eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇)) = ((#‘𝑆) − 1))
144136, 143oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))) = (0...((#‘𝑆) − 1)))
145134, 144eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑆)) = (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
146145adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (0..^(#‘𝑆)) = (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
147129, 131, 1463eltr4d 2703 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
148 ccatval1 13214 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
149117, 118, 147, 148syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
15029ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (#‘(reverse‘𝑇)) = (#‘𝑇))
151150oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (#‘𝑇)))
152 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
153 fzosubel3 12396 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 − (#‘𝑇)) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
154152, 132, 153syl2anr 494 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 − (#‘𝑇)) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
155151, 154eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
156 revfv 13363 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))))))
157117, 155, 156syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))))))
158116, 149, 1573eqtr4d 2654 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
1591adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
16011adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
161 fzoss1 12364 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑇) ∈ (ℤ‘0) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
162 nn0uz 11598 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
163161, 162eleq2s 2706 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
164160, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
16515oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
166164, 165sseqtr4d 3605 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
167166sselda 3568 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
168159, 167, 85syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
16920ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
17021ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
17189, 31oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆)))) = ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
172171eleq2d 2673 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆)))) ↔ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
173172biimpar 501 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆)))))
174 ccatval2 13215 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
175169, 170, 173, 174syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
176158, 168, 1753eqtr4d 2654 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17795, 176jaodan 822 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17840, 177syldan 486 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17919, 35, 178eqfnfvd 6222 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  reversecreverse 13152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-reverse 13160 This theorem is referenced by:  gsumwrev  17619  efginvrel2  17963
 Copyright terms: Public domain W3C validator