MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosubel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosubel3 12396
Description: Membership in a translated half-open integer range when the original range is zero-based. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosubel3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ (0..^𝐷))

Proof of Theorem fzosubel3
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)))
2 elfzoel1 12337 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
43zcnd 11359 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
54addid1d 10115 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
65oveq1d 6564 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)) = (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)))
71, 6eleqtrrd 2691 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)))
8 0zd 11266 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
9 simpr 476 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
10 fzosubel2 12395 . 2 ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 0)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴𝐵) ∈ (0..^𝐷))
117, 3, 8, 9, 10syl13anc 1320 1 ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ (0..^𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818  cmin 10145  cz 11254  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  eluzgtdifelfzo  12397  ccatass  13224  swrdfv2  13298  ccatswrd  13308  revccat  13366  ccatco  13432  fargshiftfo  26166  extwwlkfablem2  26605  av-extwwlkfablem2  41510
  Copyright terms: Public domain W3C validator