extwwlkfablem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem extwwlkfablem2 26605

Description: Lemma 2 for extwwlkfab 26617. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))

**Assertion**
Ref	Expression
extwwlkfablem2	⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐸 𝑛,𝑁 𝑛,𝑉 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑛) 𝐸(𝑤) 𝑁(𝑤) 𝑉(𝑤) 𝑋(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfablem2 Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrav 25867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2		uzuzle23 11605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		eluzge2nn0 11603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	1, 4	anim12i 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
6		df-3an 1033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
7	5, 6	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
8		isclwwlkn 26297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
10	9	3adant2 1073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
11		isclwwlk 26296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸)))
12	11	anbi1d 737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
14	13	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
15	10, 14	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
16		swrdcl 13271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉)
17	16	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉)
19	18	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉)
20		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((#‘𝑤) − 1) = (𝑁 − 1))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑤) − 1) = (𝑁 − 1))
22		1le3 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ≤ 3
23		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
24		3re 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℝ)
26		eluzelre 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
27	23, 25, 26	lesub2d 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1 ≤ 3 ↔ (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 1)))
28	22, 27	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 1))
29		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		eluzel2 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℤ)
32		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
34		eluz 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 − 3) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)) ↔ (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 1)))
35	31, 33, 34	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)) ↔ (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 1)))
36	28, 35	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)))
38	21, 37	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)))
39		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑤) − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)) → (0..^(𝑁 − 3)) ⊆ (0..^((#‘𝑤) − 1)))
40		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0..^(𝑁 − 3)) ⊆ (0..^((#‘𝑤) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
43		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
44		1eluzge0 11608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ (ℤ_≥‘0)
45		fzss1 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ (ℤ_≥‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
46	44, 45	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
47		ige3m2fz 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
48	46, 47	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
50		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (0...(#‘𝑤)) = (0...𝑁))
51	50	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
53	49, 52	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
54	53	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
55		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ ℝ
56		2lt3 11072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 < 3
57	55, 24, 56	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ≤ 3
58	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℝ)
59	58, 25, 26	lesub2d 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 ≤ 3 ↔ (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 2)))
60	57, 59	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 2))
61		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℤ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℤ)
63	29, 62	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
64		eluz 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 − 3) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)) ↔ (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 2)))
65	31, 63, 64	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)) ↔ (𝑁 − 3) ≤ (𝑁 − 2)))
66	60, 65	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)))
67		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 3)) → (0..^(𝑁 − 3)) ⊆ (0..^(𝑁 − 2)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0..^(𝑁 − 3)) ⊆ (0..^(𝑁 − 2)))
69	68	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2))))
70	69	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2))))
71	70	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
72		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤‘𝑖))
73	43, 54, 71, 72	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤‘𝑖))
74	73	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑤‘𝑖) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖))
75		elfzonn0 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
77		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
79		uz3m2nn 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
81		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)))
82		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℂ)
83		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 1 ∈ ℂ
84	82, 83	jctir 559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
86		pncan 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
88	87	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑖 = ((𝑖 + 1) − 1))
89		eluzelcn 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℂ)
91		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 2 ∈ ℂ)
92		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 1 ∈ ℂ)
93	90, 91, 92	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
94		df-3 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 3 = (2 + 1)
95	94	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 − 3) = (𝑁 − (2 + 1))
96	93, 95	syl6reqr 2663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 3) = ((𝑁 − 2) − 1))
97	88, 96	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 < (𝑁 − 3) ↔ ((𝑖 + 1) − 1) < ((𝑁 − 2) − 1)))
98	97	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 < (𝑁 − 3) → ((𝑖 + 1) − 1) < ((𝑁 − 2) − 1)))
99	98	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑖 + 1) − 1) < ((𝑁 − 2) − 1)))
100	99	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑖 + 1) − 1) < ((𝑁 − 2) − 1)))
101	100	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑖 + 1) − 1) < ((𝑁 − 2) − 1))
102		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
103		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
105	104	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
107	26, 58	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℝ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℝ)
109		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 1 ∈ ℝ)
110	106, 108, 109	ltsub1d 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑖 + 1) < (𝑁 − 2) ↔ ((𝑖 + 1) − 1) < ((𝑁 − 2) − 1)))
111	101, 110	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑖 + 1) < (𝑁 − 2))
112	111	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 3) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 3)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑖 + 1) < (𝑁 − 2)))
113	81, 112	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑖 + 1) < (𝑁 − 2)))
114	113	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑖 + 1) < (𝑁 − 2))
115		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑖 + 1) < (𝑁 − 2)))
116	78, 80, 114, 115	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
117	116	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2))))
118	117	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2))))
119	118	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
120		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
121	43, 54, 119, 120	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
122	121	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)))
123	74, 122	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
124	123	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3))) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
125	124	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
126	42, 125	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
127	126	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
128	127	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
129	128	expdimp 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
130	129	impcom 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
132		simprl1 1099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
133		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → (#‘𝑤) = 𝑁)
134	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
135	132, 133, 134	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
137		extwwlkfablem2lem 26602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
139	138	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
140	139	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 − 2) − 1)))
141		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
142		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
143	89, 141, 142	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
144		2p1e3 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 1) = 3
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 + 1) = 3)
146	145	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3))
147	143, 146	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
148	147	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
149	148	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (0..^((𝑁 − 2) − 1)) = (0..^(𝑁 − 3)))
150	140, 149	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 3)))
151	150	raleqdv 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 3)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
152	131, 151	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
153	20	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
154	153	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
155		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
156		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
157	156	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
158	47, 157	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
159	158	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
160	159	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
161	160	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
162	161	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))
163		swrd0fvlsw 13295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
164	155, 162, 163	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
165	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
166	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
167	165, 166	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))
168	167	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
169	168	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
170	169	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
171	170	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
172	171	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))
173		swrd0fv0 13292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
174	155, 172, 173	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
175	164, 174	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
176		cnm2m1cnm3 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
177	89, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
178	177	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
179	178	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
180		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)) → (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
181	180	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
182	181	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
183	179, 182	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))})
184		eluzfz2b 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ 𝑁 ∈ (3...𝑁))
185		fzval3 12404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3...𝑁) = (3..^(𝑁 + 1)))
186	29, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3...𝑁) = (3..^(𝑁 + 1)))
187	186	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ∈ (3...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (3..^(𝑁 + 1))))
188		peano2z 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
189		zadd2cl 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
190		1le2 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 1 ≤ 2
191		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
192	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
193		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
194	191, 192, 193	leadd2d 10501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 2 ↔ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 2)))
195	190, 194	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 2))
196	188, 189, 195	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 2)))
197	29, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 2)))
198		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 2)))
199	197, 198	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)))
200		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) → (3..^(𝑁 + 1)) ⊆ (3..^(𝑁 + 2)))
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3..^(𝑁 + 1)) ⊆ (3..^(𝑁 + 2)))
202	201	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ∈ (3..^(𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (3..^(𝑁 + 2))))
203	187, 202	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ∈ (3...𝑁) → 𝑁 ∈ (3..^(𝑁 + 2))))
204	184, 203	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (3..^(𝑁 + 2))))
205	204	pm2.43i 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (3..^(𝑁 + 2)))
206		3cn 10972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 3 ∈ ℂ
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ∈ ℂ)
208	207, 89, 142	addsub12d 10294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (3 − 1)))
209		3m1e2 11014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (3 − 1) = 2
210	209	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 + (3 − 1)) = (𝑁 + 2)
211	208, 210	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 2))
212	211	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3..^(3 + (𝑁 − 1))) = (3..^(𝑁 + 2)))
213	205, 212	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))))
214	213, 33	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
215		fzosubel3 12396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
216		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
217		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 3) + 1))
218	217	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
219	216, 218	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
220	219	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 3) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ ran 𝐸))
221	220	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ ran 𝐸))
222	214, 215, 221	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ ran 𝐸))
223	89, 207, 142	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = ((𝑁 − 3) + 1))
224	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (3 − 1) = 2)
225	224	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = (𝑁 − 2))
226	223, 225	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 3) + 1) = (𝑁 − 2))
227	226	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
228	227	preq2d 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))})
229	228	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ({(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))} ∈ ran 𝐸))
230	222, 229	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))} ∈ ran 𝐸))
231	230	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))} ∈ ran 𝐸))
232	231	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))} ∈ ran 𝐸))
233	232	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))} ∈ ran 𝐸))
234	233	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘(𝑁 − 2))} ∈ ran 𝐸)
235	183, 234	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸)
236	175, 235	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((#‘𝑤) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
237	236	exp41 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
238	154, 237	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑤) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
239	238	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
240	239	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
241	240	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
242	241	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
243	242	expd 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
244	243	impcom 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
245	244	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
246	245	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
247	246	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
248	19, 152, 247	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
249	248	exp31 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
250	249	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
251	15, 250	sylbid 229	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
252	251	imp31 447	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
253		clwwlknprop 26300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)))
254		simpl2 1058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
255		simpl3r 1110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (#‘𝑤) = 𝑁)
256	2	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
257	254, 255, 256	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
258	257	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑤) = 𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
259	253, 258	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
260	259	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
261	260	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))))
262	261	imp 444	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
263	262	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)))
264	263, 137	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
265	252, 264	jca 553	. . 3 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)))
266		uznn0sub 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
267	2, 266	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
268	1, 267	anim12i 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀))
269		df-3an 1033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀))
270	268, 269	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀))
271		isclwwlkn 26297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
272	270, 271	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
273		isclwwlk 26296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
274	1, 273	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
275	274	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
276	275	anbi1d 737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
277	272, 276	bitrd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
278	277	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
279	278	ad2antrr 758	. . 3 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
280	265, 279	mpbird 246	. 2 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)))
281	267	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
282	281	ad2antrr 758	. . 3 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
283		numclwwlk.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
284	283	numclwwlkfvc 26604	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → (𝐶‘(𝑁 − 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)))
285	282, 284	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝐶‘(𝑁 − 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 − 2)))
286	280, 285	eleqtrrd 2691	1 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ⊆ wss 3540 {cpr 4127 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ran crn 5039 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 substr csubstr 13150 USGrph cusg 25859 ClWWalks cclwwlk 26276 ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-substr 13158 df-usgra 25862 df-clwwlk 26279 df-clwwlkn 26280

This theorem is referenced by: extwwlkfab 26617

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