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Theorem av-extwwlkfablem2 41510
 Description: Lemma 2 for av-extwwlkfab 41520. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
av-extwwlkfablem2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺))

Proof of Theorem av-extwwlkfablem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 41195 . . . . 5 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 swrdcl 13271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
653ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
87adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9 simpl1l 1105 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11 uz3m2nn 11607 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
1211ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
13 0le2 10988 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
14 eluzelre 11574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℝ)
1714, 16subge02d 10498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 ≤ 2 ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
1813, 17mpbii 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
20 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
22213ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤) ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
2419, 23mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤))
26 swrdn0 13282 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) ≤ (#‘𝑤)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅)
2710, 12, 25, 26syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅)
288, 27jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅))
29 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℤ)
3229, 31zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
33 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 − 2) ∈ ℤ → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ)
35 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3714, 16resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℝ)
38 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
4139, 40subge02d 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 2 ↔ (𝑁 − 2) ≤ 𝑁))
4213, 41mpbii 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
43423ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 2) ≤ 𝑁)
44 lesub1 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 2) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1)))
4543, 44mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
4637, 14, 38, 45syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
47 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)) ↔ (((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 2) − 1) ≤ (𝑁 − 1)))
4834, 36, 46, 47syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)))
50 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
51 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘𝑤) = 𝑁)
52 uzuzle23 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
54 av-extwwlkfablem2lem 41507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
5550, 51, 53, 54syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
5655oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
5756fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (ℤ‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (ℤ‘((𝑁 − 2) − 1)))
5849, 57eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)))
59 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
60 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6252anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
63 df-3an 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
6462, 63sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
6564, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
6665oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
6766oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 − 2) − 1)))
6867eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))))
6950adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
70 fzossfz 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...(𝑁 − 1))
7114lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
72 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
7336, 29, 71, 72syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
74 fzss2 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
7670, 75syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77 ige2m2fzo 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7852, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7976, 78sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
81 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (0...(#‘𝑤)) = (0...𝑁))
8281eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
8382ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
8480, 83mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
86 elfzom1elfzo 12403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
8732, 86sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
8887adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
89 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤𝑖))
9069, 85, 88, 89syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖) = (𝑤𝑖))
9190eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑤𝑖) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖))
9279adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
9382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
9492, 93mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
9594ad4ant23 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)))
9632adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℤ)
97 elfzom1elp1fzo 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
9896, 97sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2)))
99 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(#‘𝑤)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 − 2))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
10069, 95, 98, 99syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘(𝑖 + 1)))
101100eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1)))
10291, 101preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1))) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
103102ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((𝑁 − 2) − 1)) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))}))
10468, 103sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))}))
105104imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1))) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))})
106105eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1))) → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107106ralbidva 2968 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10861, 107sylibd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
109108ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109com23 84 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
111110a1dd 48 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1121113imp1 1272 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
113112adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
114 ige3m2fz 12236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
116 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
117116eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
118117ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
119115, 118mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))
120 swrd0fvlsw 13295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
12150, 119, 120syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)))
122 swrd0fv0 13292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
12350, 119, 122syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
124121, 123preq12d 4220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
1251243ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
126125adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)})
127 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
128 cnm2m1cnm3 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
129128fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
130127, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
132 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
133132biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
134 3m1e2 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 1) = 2
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 − 1) = 2)
136135oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = (𝑁 − 2))
137 3cn 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℂ)
139 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
140127, 138, 139subsubd 10299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) = ((𝑁 − 3) + 1))
141136, 140eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 3) + 1))
142141fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
143133, 142sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
144131, 143preq12d 4220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
145144adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘((𝑁 − 2) − 1)), (𝑤‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
146126, 145eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
147 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
148 eluzel2 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ ℤ)
149148, 36zaddcld 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
150 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
15116, 14ltaddposd 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 < 2 ↔ 𝑁 < (𝑁 + 2)))
152150, 151mpbii 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 < (𝑁 + 2))
153138, 127, 139addsub12d 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (3 − 1)))
154134oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 + (3 − 1)) = (𝑁 + 2)
155153, 154syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 2))
156152, 155breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 < (3 + (𝑁 − 1)))
157 elfzo2 12342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (3 + (𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (3 + (𝑁 − 1))))
158147, 149, 156, 157syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))))
159158, 36jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
160 fzosubel3 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (3..^(3 + (𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
161 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤𝑖) = (𝑤‘(𝑁 − 3)))
162 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 3) + 1))
163162fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑁 − 3) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1)))
164161, 163preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑁 − 3) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))})
165164eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 3) → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
166165rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 − 3) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
167159, 160, 1663syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
168167com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1691683ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
170169imp 444 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
171170adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {(𝑤‘(𝑁 − 3)), (𝑤‘((𝑁 − 3) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
172146, 171eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
17328, 113, 1723jca 1235 . . . . . . 7 (((((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
174173exp31 628 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
175174adantld 482 . . . . 5 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1763, 175syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1771763imp21 1269 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1781clwwlknbp 41193 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁))
17950, 51, 533jca 1235 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
180179ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
181178, 180syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
182181com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
183182adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2))))
184183imp 444 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
1851843adant3 1074 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
186185, 54syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))
187177, 186jca 553 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)))
18811adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
189 isclwwlksn 41190 . . . . 5 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
190188, 189syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
1911, 2isclwwlks 41188 . . . . . 6 ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
192191a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
193192anbi1d 737 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2)) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
194190, 193bitrd 267 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
1951943ad2ant1 1075 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) − 1)){((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘𝑖), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)), ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)) = (𝑁 − 2))))
196187, 195mpbird 246 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalkSN 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379  ClWWalkScclwwlks 41183   ClWWalkSN cclwwlksn 41184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186 This theorem is referenced by:  av-extwwlkfab  41520
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