Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatco 13432
 Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 13429 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑆)) = (#‘𝑆))
213adant2 1073 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑆)) = (#‘𝑆))
3 lenco 13429 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑇)) = (#‘𝑇))
433adant1 1072 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑇)) = (#‘𝑇))
52, 4oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇))) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
65oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) = (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
76mpteq1d 4666 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
82oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(𝐹𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
98adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (0..^(#‘(𝐹𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
109eleq2d 2673 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
1110ifbid 4058 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))))
12 wrdf 13165 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
13123ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
15 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
17 fvco2 6183 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
1816, 17sylan 487 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
19 iftrue 4042 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2118, 20eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
22 wrdf 13165 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
23223ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
2423ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
25 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
27 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
29283ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
30 fzospliti 12369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3130ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3229, 31sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3332orcanai 950 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
34 lencl 13179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 11356 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
36353ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
3736ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
38 fzosubel3 12396 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
3933, 37, 38syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
40 fvco2 6183 . . . . . . . 8 ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4126, 39, 40syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
422oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))) = (𝑥 − (#‘𝑆)))
4342fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
4443ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
45 iffalse 4045 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4645adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4741, 44, 463eqtr4d 2654 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
4821, 47ifeqda 4071 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
4911, 48eqtrd 2644 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
5049mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))))
517, 50eqtr2d 2645 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
5214ffvelrnda 6267 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ 𝐴)
5324, 39ffvelrnd 6268 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ 𝐴)
5452, 53ifclda 4070 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) ∈ 𝐴)
55 ccatfval 13211 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
56553adant3 1074 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
57 simp3 1056 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
5857feqmptd 6159 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
59 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
60 fvif 6114 . . . 4 (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
6159, 60syl6eq 2660 . . 3 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
6254, 56, 58, 61fmptco 6303 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))))
63 ffun 5961 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
64633ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → Fun 𝐹)
65 simp1 1054 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
66 cofunexg 7023 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑆 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑆) ∈ V)
6764, 65, 66syl2anc 691 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑆) ∈ V)
68 simp2 1055 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
69 cofunexg 7023 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑇) ∈ V)
7064, 68, 69syl2anc 691 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑇) ∈ V)
71 ccatfval 13211 . . 3 (((𝐹𝑆) ∈ V ∧ (𝐹𝑇) ∈ V) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
7267, 70, 71syl2anc 691 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
7351, 62, 723eqtr4d 2654 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156 This theorem is referenced by:  cats1co  13452  frmdgsum  17222  frmdup1  17224  efginvrel2  17963  frgpuplem  18008  frgpup1  18011  mrsubccat  30669
 Copyright terms: Public domain W3C validator