MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 13165
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13162 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 476 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 13091 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (#‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 5944 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 246 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3010 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 206 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wrex 2897  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154
This theorem is referenced by:  iswrdb  13166  wrddm  13167  wrdsymbcl  13173  wrdfn  13174  wrdv  13175  wrdffz  13181  0wrd0  13186  wrdnval  13190  ccatcl  13212  ccatass  13224  ccatrn  13225  ccatalpha  13228  s1dm  13241  swrdcl  13271  swrd0val  13273  swrdf  13277  swrdnd2  13285  ccatswrd  13308  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  cats1un  13327  revcl  13361  revlen  13362  revccat  13366  revrev  13367  repsdf2  13376  cshwf  13397  cshinj  13408  wrdco  13428  lenco  13429  revco  13431  ccatco  13432  lswco  13435  s2dm  13485  wwlktovf  13547  ofccat  13556  gsumwsubmcl  17198  gsumccat  17201  gsumwmhm  17205  frmdss2  17223  symgtrinv  17715  psgnunilem5  17737  psgnunilem2  17738  psgnunilem3  17739  efginvrel1  17964  efgsf  17965  efgsrel  17970  efgs1b  17972  efgredlemf  17977  efgredlemd  17980  efgredlemc  17981  efgredlem  17983  frgpup3lem  18013  pgpfaclem1  18303  ablfaclem2  18308  ablfaclem3  18309  ablfac2  18311  dchrptlem1  24789  dchrptlem2  24790  trgcgrg  25210  tgcgr4  25226  wrdupgr  25752  wrdumgr  25763  wrdumgra  25845  usgrwlknloop  26093  is2wlk  26095  redwlklem  26135  redwlk  26136  wlkdvspthlem  26137  usgra2wlkspthlem1  26147  usgra2wlkspthlem2  26148  nvnencycllem  26171  constr3trllem2  26179  4cycl4dv  26195  wlkiswwlk1  26218  wlkiswwlk2lem3  26221  clwlkisclwwlklem2a  26313  clwlkisclwwlklem1  26315  vdegp1ai  26511  vdegp1bi  26512  sseqf  29781  fiblem  29787  wrdres  29943  ofcccat  29946  signstcl  29968  signstf  29969  signstfvn  29972  signsvtn0  29973  signstres  29978  signsvtp  29986  signsvtn  29987  signsvfpn  29988  signsvfnn  29989  signshf  29991  mvrsfpw  30657  amgm2d  37523  amgm3d  37524  amgm4d  37525  wrdred1  40240  wrdred1hash  40241  lswn0  40242  pfxres  40251  ccatpfx  40272  vdegp1ai-av  40752  vdegp1bi-av  40753  1wlkreslem  40878  1wlkres  40879  1wlkp1  40890  1wlkdlem1  40891  trlf1  40906  trlreslem  40907  upgrwlkdvdelem  40942  pthdlem1  40972  pthdlem2lem  40973  uspgrn2crct  41011  1wlkiswwlks2lem3  41068  1wlkiswwlksupgr2  41074  clwlkclwwlklem2a  41207  clwlkclwwlklem2  41209  11wlkdlem1  41304  1wlk2v2e  41324  eucrctshift  41411  konigsbergssiedgw  41419  amgmw2d  42359
  Copyright terms: Public domain W3C validator