Theorem lencl 13179

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 13178	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 13009	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154

This theorem is referenced by:  wrdffz  13181  wrdsymb0  13194  wrdlenge1n0  13195  wrdlenge2n0  13196  wrdsymb1  13197  eqwrd  13201  ccatcl  13212  ccatlen  13213  ccatval1  13214  ccatval3  13216  elfzelfzccat  13217  ccatsymb  13219  ccatfv0  13220  ccatlid  13222  ccatrid  13223  ccatass  13224  ccatrn  13225  lswccatn0lsw  13226  ccatalpha  13228  wrdlenccats1lenm1  13252  ccatw2s1len  13254  ccats1val2  13256  ccatws1lenrev  13260  ccatws1n0  13261  lswccats1fst  13264  ccatw2s1p1  13265  ccat2s1fvw  13267  swrdid  13280  swrdn0  13282  swrdnd  13284  swrdnd2  13285  swrdrlen  13287  addlenrevswrd  13289  addlenswrd  13290  swrdtrcfv0  13294  swrdeq  13296  swrdlen2  13297  swrdfv2  13298  swrdtrcfvl  13302  swrdlsw  13304  2swrdeqwrdeq  13305  2swrd1eqwrdeq  13306  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  wrdcctswrd  13317  ccats1swrdeq  13321  ccatopth2  13323  cats1un  13327  wrdind  13328  wrd2ind  13329  ccats1swrdeqrex  13330  swrdccatin1  13334  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2  13340  swrdccatin12lem3  13341  swrdccatin12  13342  swrdccat3  13343  swrdccat  13344  swrdccat3a  13345  swrdccat3blem  13346  swrdccat3b  13347  swrdccatid  13348  ccats1swrdeqbi  13349  spllen  13356  splval2  13359  revcl  13361  revlen  13362  revccat  13366  revrev  13367  repswsymball  13377  repswsymballbi  13378  cshwsublen  13393  cshwn  13394  cshwlen  13396  cshwidxmod  13400  2cshwid  13411  3cshw  13415  cshweqdif2  13416  cshw1  13419  scshwfzeqfzo  13423  revco  13431  ccatco  13432  cats1fvn  13454  cats1fv  13455  swrd2lsw  13543  2swrd2eqwrdeq  13544  ccat2s1fvwALT  13546  cshwshashnsame  15648  gsmsymgrfixlem1  17670  gsmsymgreqlem2  17674  pmtrdifwrdellem2  17725  psgnuni  17742  psgnran  17758  efginvrel2  17963  efgsdmi  17968  efgsval2  17969  efgsp1  17973  efgsfo  17975  efgredlemf  17977  efgredlemg  17978  efgredleme  17979  efgredlemd  17980  efgredlemc  17981  efgredlem  17983  efgred  17984  efgcpbllemb  17991  frgpuplem  18008  frgpnabllem1  18099  pgpfaclem1  18303  psgnghm  19745  wlkbprop  26051  wlkn0  26055  wlklenvm1  26060  wlkonwlk  26065  pthdepisspth  26104  spthonepeq  26117  redwlklem  26135  nvnencycllem  26171  wlkiswwlk1  26218  wlkiswwlk2lem1  26219  wlkiswwlk2lem3  26221  wlkiswwlk2lem4  26222  wlklniswwlkn2  26228  2wlkeq  26235  wwlknextbi  26253  wwlkm1edg  26263  wwlkextproplem2  26270  wwlkextproplem3  26271  wlkv0  26288  clwwlkgt0  26299  clwwlknprop  26300  clwwlkn0  26302  clwlkisclwwlklem2a1  26307  clwlkisclwwlklem2a2  26308  clwlkisclwwlklem2a4  26312  clwlkisclwwlklem2a  26313  clwlkisclwwlklem1  26315  clwlkisclwwlklem0  26316  clwlkisclwwlk  26317  clwlkisclwwlk2  26318  clwwisshclwwlem  26334  erclwwlkref  26341  wlklenvp1  26365  wlklenvclwlk  26366  clwlkfclwwlk2wrd  26367  clwlkfclwwlk1hash  26369  clwlkfclwwlk  26371  clwlkf1clwwlklem1  26373  clwlkf1clwwlklem3  26375  rusgranumwlks  26483  numclwwlkovf2ex  26613  numclwlk2lem2f1o  26632  sseqfv1  29778  sseqfn  29779  sseqmw  29780  sseqf  29781  sseqfv2  29783  sseqp1  29784  signstlen  29970  signstfvn  29972  signstfvp  29974  signstfvneq0  29975  signstfvc  29977  signstfveq0a  29979  signstfveq0  29980  signshlen  29993  signshnz  29994  elmrsubrn  30671  wrdred1  40240  wrdred1hash  40241  lswn0  40242  pfxid  40255  addlenrevpfx  40260  addlenpfx  40261  pfxtrcfv0  40265  pfxeq  40267  pfxtrcfvl  40268  pfxsuffeqwrdeq  40269  pfxccat1  40273  pfx2  40275  pfxcctswrd  40280  ccats1pfxeq  40284  ccats1pfxeqrex  40285  pfxccatin12lem2  40287  pfxccatin12  40288  pfxccat3  40289  pfxccatpfx2  40291  pfxccat3a  40292  pfxccatid  40293  ccats1pfxeqbi  40294  upgrewlkle2  40808  1wlkcl  40820  1wlkeq  40838  1wlkv0  40859  1wlklenvclwlk  40863  red1wlklem  40880  1wlkp1lem3  40884  1wlkp1lem8  40889  1wlkdlem1  40891  pthdlem1  40972  pthdlem2  40974  1wlkiswwlks1  41064  1wlkiswwlks2lem1  41066  1wlkiswwlks2lem3  41068  1wlkiswwlks2lem4  41069  wwlksm1edg  41078  1wlklnwwlkln2lem  41079  wwlksnextbi  41100  wwlksnextproplem2  41116  wwlksnextproplem3  41117  rusgrnumwwlks  41177  clwlkclwwlklem2a1  41201  clwlkclwwlklem2a2  41202  clwlkclwwlklem2a4  41206  clwlkclwwlklem2a  41207  clwlkclwwlklem2  41209  clwlkclwwlklem3  41210  clwlkclwwlk  41211  clwlkclwwlk2  41212  umgrclwwlksge2  41219  clwwisshclwwslem  41234  erclwwlksref  41241  clwlksfclwwlk2wrd  41265  clwlksfclwwlk1hash  41267  clwlksfclwwlk  41269  clwlksf1clwwlklem1  41272  clwlksf1clwwlklem3  41274  eupth2eucrct  41385  eucrctshift  41411  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwlk2lem2f1o  41535