Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatfval 13211
 Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatfval ((𝑆𝑉𝑇𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ccatfval
Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3185 . 2 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
2 elex 3185 . 2 (𝑇𝑊𝑇 ∈ V)
3 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (#‘𝑠) = (#‘𝑆))
4 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑇 → (#‘𝑡) = (#‘𝑇))
53, 4oveqan12d 6568 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → ((#‘𝑠) + (#‘𝑡)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
65oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (0..^((#‘𝑠) + (#‘𝑡))) = (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
73oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (0..^(#‘𝑠)) = (0..^(#‘𝑆)))
87eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
10 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑥) = (𝑆𝑥))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑠𝑥) = (𝑆𝑥))
12 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → 𝑡 = 𝑇)
133oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (#‘𝑠)) = (𝑥 − (#‘𝑆)))
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 − (#‘𝑠)) = (𝑥 − (#‘𝑆)))
1512, 14fveq12d 6109 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑡‘(𝑥 − (#‘𝑠))) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
169, 11, 15ifbieq12d 4063 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (#‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
176, 16mpteq12dv 4663 . . 3 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑠) + (#‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (#‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
18 df-concat 13156 . . 3 ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑠) + (#‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (#‘𝑠))))))
19 ovex 6577 . . . 4 (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∈ V
2019mptex 6390 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) ∈ V
2117, 18, 20ovmpt2a 6689 . 2 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
221, 2, 21syl2an 493 1 ((𝑆𝑉𝑇𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ..^cfzo 12334  #chash 12979   ++ cconcat 13148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-concat 13156 This theorem is referenced by:  ccatcl  13212  ccatlen  13213  ccatval1  13214  ccatval2  13215  ccatvalfn  13218  ccatalpha  13228  repswccat  13383  ccatco  13432  ofccat  13556  ccatmulgnn0dir  29945
 Copyright terms: Public domain W3C validator