Theorem eqfnfvd 6222

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6219	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6455  f1eqcocnv  6456  offveq  6816  tfrlem1  7359  ackbij2lem2  8945  ackbij2lem3  8946  fpwwe2lem8  9338  seqfeq2  12686  seqfeq  12688  seqfeq3  12713  ccatlid  13222  ccatrid  13223  ccatass  13224  swrdid  13280  ccatswrd  13308  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  swrdswrd  13312  cats1un  13327  swrdccatin1  13334  swrdccatin2  13338  swrdccatin12  13342  revccat  13366  revrev  13367  cshco  13433  swrdco  13434  seqshft  13673  seq1st  15122  xpsfeq  16047  yonedainv  16744  pwsco1mhm  17193  f1otrspeq  17690  pmtrfinv  17704  symgtrinv  17715  frgpup3lem  18013  ablfac1eu  18295  psrlidm  19224  psrridm  19225  psrass1  19226  subrgascl  19319  evlslem1  19336  psgndiflemB  19765  frlmup1  19956  frlmup3  19958  frlmup4  19959  mavmulass  20174  upxp  21236  uptx  21238  cnextfres1  21682  ovolshftlem1  23084  volsup  23131  dvidlem  23485  dvrec  23524  dveq0  23567  dv11cn  23568  ftc1cn  23610  coemulc  23815  aannenlem1  23887  ulmuni  23950  ulmdv  23961  ostthlem1  25116  nvinvfval  26879  sspn  26975  kbass2  28360  xppreima2  28830  psgnfzto1stlem  29181  indpreima  29414  esumcvg  29475  signstres  29978  subfacp1lem4  30419  cvmliftmolem2  30518  msubff1  30707  iprodefisumlem  30879  poimirlem8  32587  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  ftc1cnnc  32654  eqlkr3  33406  cdleme51finvN  34862  ismrcd2  36280  rfovcnvf1od  37318  dssmapntrcls  37446  dvconstbi  37555  fsumsermpt  38646  icccncfext  38773  voliooicof  38889  etransclem35  39162  rrxsnicc  39196  ovolval4lem1  39539  ccatpfx  40272  pfxccat1  40273  pfxccatin12  40288  zrinitorngc  41792  zrtermorngc  41793  zrtermoringc  41862