Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem1 25116
 Description: Lemma for ostth 25128. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem1.3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
Assertion
Ref Expression
ostthlem1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 qrng.q . . . . 5 𝑄 = (ℂflds ℚ)
43qrngbas 25108 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
52, 4abvf 18646 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:ℚ⟶ℝ)
6 ffn 5958 . . 3 (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
71, 5, 63syl 18 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℚ)
8 ostthlem1.2 . . 3 (𝜑𝐺𝐴)
92, 4abvf 18646 . . 3 (𝐺𝐴𝐺:ℚ⟶ℝ)
10 ffn 5958 . . 3 (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℚ)
12 elq 11666 . . . 4 (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
133qdrng 25109 . . . . . . . . . 10 𝑄 ∈ DivRing
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
151adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
16 zq 11670 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
1716ad2antrl 760 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18 nnq 11677 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1918ad2antll 761 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20 nnne0 10930 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
2120ad2antll 761 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
223qrng0 25110 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
23 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (/r𝑄) = (/r𝑄)
242, 4, 22, 23abvdiv 18660 . . . . . . . . 9 (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
268adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺𝐴)
272, 4, 22, 23abvdiv 18660 . . . . . . . . . 10 (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1325 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
292, 22abv0 18654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
312, 22abv0 18654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
328, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
3330, 32eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
35 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝐺𝑘) = (𝐺‘0))
3634, 35eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
3733, 36syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
3938imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
40 elnn1uz2 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
413qrng1 25111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (1r𝑄)
422, 41abv1 18656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
4313, 1, 42sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
442, 41abv1 18656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
4513, 8, 44sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
4643, 45eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
48 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘1))
4947, 48eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
5046, 49syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
5150imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 = 1) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
52 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5351, 52jaodan 822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5440, 53sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5554ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
57 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
58 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
5957, 58eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
6059rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6156, 60sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6255ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
6316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
643qrngneg 25112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((invg𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
6665eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
6766biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
68 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)))
69 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
7068, 69eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘))))
7170rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ∧ ((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
7262, 67, 71syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
731ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
7416ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
75 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝑄) = (invg𝑄)
762, 4, 75abvneg 18657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
7773, 74, 76syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
788ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺𝐴)
792, 4, 75abvneg 18657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺𝑘))
8078, 74, 79syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺𝑘))
8172, 77, 803eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
82 elz 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
8382simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
8539, 61, 81, 84mpjao3dan 1387 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8685adantrr 749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8754adantrl 748 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
8886, 87oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
8928, 88eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
9025, 89eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)))
913qrngdiv 25113 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
9217, 19, 21, 91syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
9392fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
9492fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
9590, 93, 943eqtr3d 2652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
96 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
97 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
9896, 97eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
9995, 98syl5ibrcom 236 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
10099rexlimdvva 3020 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
10112, 100syl5bi 231 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
102101imp 444 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
1037, 11, 102eqfnfvd 6222 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℚcq 11664   ↾s cress 15696  invgcminusg 17246  /rcdvr 18505  DivRingcdr 18570  AbsValcabv 18639  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  ostthlem2  25117  ostth2  25126
 Copyright terms: Public domain W3C validator