Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvexp 25115
 Description: Induct the product rule abvmul 18652 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvexp ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑀𝑘) = (𝑀↑0))
21fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0)))
54imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = 0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))))
6 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑛))
76fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑛)))
8 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
97, 8eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))))
11 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
1211fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑁))
1716fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑁)))
18 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))))
21 ax-1ne0 9884 . . . . . . 7 1 ≠ 0
22 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2423qrng1 25111 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
2523qrng0 25110 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
2622, 24, 25abv1z 18655 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
2721, 26mpan2 703 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29 qcn 11678 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130exp0d 12864 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
3231fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
3323qrngbas 25108 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
3422, 33abvcl 18647 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
3534recnd 9947 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3635exp0d 12864 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑀)↑0) = 1)
3728, 32, 363eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))
38 oveq1 6556 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
39 expp1 12729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4030, 39sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4140fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)))
42 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐴)
43 qexpcl 12738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
4443adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
45 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46 qex 11676 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
47 cnfldmul 19573 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
4823, 47ressmulr 15829 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑄)
5022, 33, 49abvmul 18652 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5142, 44, 45, 50syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5241, 51eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
53 expp1 12729 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5435, 53sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5552, 54eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀))))
5638, 55syl5ibr 235 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
5756expcom 450 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
5857a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 37, 58nn0ind 11348 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
6059com12 32 . 2 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
61603impia 1253 1 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169  ℚcq 11664  ↑cexp 12722   ↾s cress 15696  .rcmulr 15769  AbsValcabv 18639  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  ostth3  25127
 Copyright terms: Public domain W3C validator