MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnne0 10930
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 10929 . . 3 ¬ 0 ∈ ℕ
2 eleq1 2676 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
31, 2mtbiri 316 . 2 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
43necon2ai 2811 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  0cc0 9815  cn 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898
This theorem is referenced by:  nndivre  10933  nndiv  10938  nndivtr  10939  nnne0d  10942  zdiv  11323  zdivadd  11324  zdivmul  11325  elq  11666  qmulz  11667  qre  11669  qaddcl  11680  qnegcl  11681  qmulcl  11682  qreccl  11684  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  nn0ledivnn  11817  fzo1fzo0n0  12386  quoremz  12516  quoremnn0ALT  12518  intfracq  12520  fldiv  12521  fldiv2  12522  modmulnn  12550  modsumfzodifsn  12605  expnnval  12725  expneg  12730  digit2  12859  facdiv  12936  facndiv  12937  bcm1k  12964  bcp1n  12965  bcval5  12967  hashnncl  13018  cshwidxmod  13400  relexpsucnnr  13613  divcnv  14424  harmonic  14430  expcnv  14435  ef0lem  14648  ruclem6  14803  sqrt2irr  14817  dvdsval3  14825  nndivdvds  14827  modmulconst  14851  dvdsdivcl  14876  dvdsflip  14877  divalg2  14966  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  ndvdssub  14971  nndvdslegcd  15065  divgcdz  15071  divgcdnn  15074  modgcd  15091  gcddiv  15106  gcdzeq  15109  sqgcd  15116  eucalgf  15134  eucalginv  15135  lcmgcdlem  15157  lcmftp  15187  qredeq  15209  qredeu  15210  cncongr1  15219  cncongr2  15220  divgcdodd  15260  isprm6  15264  divnumden  15294  divdenle  15295  phimullem  15322  hashgcdlem  15331  phisum  15333  prm23lt5  15357  pythagtriplem10  15363  pythagtriplem8  15366  pythagtriplem9  15367  pythagtriplem19  15376  pccl  15392  pcdiv  15395  pcqcl  15399  pcdvds  15406  pcndvds  15408  pcndvds2  15410  pceq0  15413  pcneg  15416  pcz  15423  pcmpt  15434  fldivp1  15439  pcfac  15441  oddprmdvds  15445  infpnlem2  15453  cshwshashlem1  15640  mulgnn  17370  mulgnegnn  17374  mulgmodid  17404  oddvdsnn0  17786  odmulgeq  17797  gexnnod  17826  cply1coe0  19490  cply1coe0bi  19491  qsssubdrg  19624  prmirredlem  19660  znf1o  19719  znhash  19726  znidomb  19729  znunithash  19732  znrrg  19733  m2cpm  20365  m2cpminvid2lem  20378  fvmptnn04ifc  20476  vitali  23188  mbfi1fseqlem3  23290  dvexp2  23523  plyeq0lem  23770  abelthlem9  23998  logtayllem  24205  logtayl  24206  logtaylsum  24207  logtayl2  24208  cxpexp  24214  cxproot  24236  root1id  24295  root1eq1  24296  cxpeq  24298  atantayl  24464  atantayl2  24465  leibpilem2  24468  leibpi  24469  birthdaylem2  24479  birthdaylem3  24480  dfef2  24497  emcllem2  24523  emcllem3  24524  zetacvg  24541  lgam1  24590  basellem4  24610  basellem5  24611  basellem8  24614  basellem9  24615  mumullem2  24706  fsumdvdscom  24711  chtublem  24736  dchrelbas4  24768  bclbnd  24805  lgsval4a  24844  lgsabs1  24861  lgssq2  24863  dchrmusumlema  24982  dchrmusum2  24983  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmaeq0  24993  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0re  25002  ostthlem1  25116  ostth1  25122  cyclnspth  26159  clwwisshclwwlem  26334  ipasslem4  27073  ipasslem5  27074  divnumden2  28951  qqhval2  29354  qqhnm  29362  signstfveq0  29980  subfacp1lem6  30421  circum  30822  fz0n  30869  divcnvlin  30871  iprodgam  30881  faclim  30885  nndivsub  31626  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  heiborlem4  32783  heiborlem6  32785  pellexlem1  36411  congrep  36558  jm2.20nn  36582  proot1ex  36798  hashnzfzclim  37543  binomcxplemnotnn0  37577  nnne1ge2  38445  mccllem  38664  clim1fr1  38668  dvnxpaek  38832  dvnprodlem2  38837  wallispilem5  38962  wallispi2lem1  38964  stirlinglem1  38967  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem12  38978  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  fouriersw  39124  vonioolem2  39572  vonicclem2  39575  iccpartiltu  39960  divgcdoddALTV  40131  pthdlem2lem  40973  wspthsnonn0vne  41124  clwwisshclwwslem  41234  av-numclwwlkffin0  41513  nnsgrpnmnd  41608  eluz2cnn0n1  42095  mod0mul  42108  modn0mul  42109  blennn  42167  nnpw2blen  42172  digvalnn0  42191  nn0digval  42192  dignn0fr  42193  dignn0ldlem  42194  dig0  42198
  Copyright terms: Public domain W3C validator