Theorem abvneg 18657

Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvneg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem abvneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	abvrcl 18644	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 18375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
6		abvneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 17290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	6, 11, 12	ring1eq0 18413	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
14	3, 9, 10, 13	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋))
15	14	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) = 𝑋)
16	15	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
17	6, 11	ringidcl 18391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	6, 7	grpinvcl 17290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 19	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
21	1, 6	abvcl 18647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
22	20, 21	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 12867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
25		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 6, 25	abvmul 18652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
27	20, 20, 26	mpd3an23 1418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))))
28	6, 25, 7, 2, 20, 18	ringmneg2 18420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))))
29	6, 25, 11, 7, 2, 18	ringnegl 18417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
30	29	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
31	6, 7	grpinvinv 17305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
32	5, 18, 31	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
33	28, 30, 32	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
34	33	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
35	24, 27, 34	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
37	1, 11, 12	abv1z 18655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
38	36, 37	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = 1)
39		sq1 12820	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
40	38, 39	syl6eqr 2662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2))
41	1, 6	abvge0 18648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
42	20, 41	mpdan 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))))
43		1re 9918	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		0le1 10430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
45		sq11 12798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
46	43, 44, 45	mpanr12 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
47	22, 42, 46	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1))
48	47	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
49	40, 48	syldan 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
50	49	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) = 1)
51	50	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
52		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐴)
53	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
54	1, 6, 25	abvmul 18652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
55	52, 53, 10, 54	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)))
56	6, 25, 11, 7, 3, 10	ringnegl 18417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
57	56	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
58	55, 57	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r‘𝑅))) · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
60	51, 59	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁‘𝑋)))
61	1, 6	abvcl 18647	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
62	61	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
63	62	mulid2d 9937	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
64	63	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
65	60, 64	eqtr3d 2646	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
66	16, 65	pm2.61dane 2869	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954  2c2 10947  ↑cexp 12722  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  AbsValcabv 18639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-abv 18640

This theorem is referenced by:  abvsubtri  18658  ostthlem1  25116  ostth3  25127