Theorem ringidcl 18391

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 18376	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 18318	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 18326	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 17131	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Mndcmnd 17117  mulGrpcmgp 18312  1_rcur 18324  Ringcrg 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372

This theorem is referenced by:  ringid  18397  rngo2times  18399  ringcom  18402  ringnegl  18417  rngnegr  18418  ringmneg1  18419  ringmneg2  18420  imasring  18442  opprring  18454  dvdsrid  18474  dvdsrneg  18477  1unit  18481  ringinvdv  18517  isdrng2  18580  isdrngd  18595  subrgid  18605  abv1z  18655  abvneg  18657  srng1  18682  issrngd  18684  lmod1cl  18713  lmodvsneg  18730  lmodsubvs  18742  lmodsubdi  18743  lmodsubdir  18744  lmodprop2d  18748  lssvnegcl  18777  prdslmodd  18790  lmodvsinv  18857  islmhm2  18859  lbsind2  18902  lspsneq  18943  lspexch  18950  lidl1el  19039  rsp1  19045  lpi1  19069  isnzr2  19084  isnzr2hash  19085  0ring01eq  19092  fidomndrnglem  19127  asclf  19158  asclghm  19159  asclmul1  19160  asclmul2  19161  asclrhm  19163  rnascl  19164  assamulgscmlem1  19169  psrlmod  19222  psr1cl  19223  mvrf  19245  mplsubrg  19261  mplmon  19284  mplmonmul  19285  mplcoe1  19286  mplind  19323  evlslem1  19336  coe1pwmul  19470  ply1scl0  19481  ply1scl1  19483  ply1idvr1  19484  lply1binomsc  19498  mulgrhm  19665  chrcl  19693  chrid  19694  chrdvds  19695  chrcong  19696  zncyg  19716  zrhpsgnelbas  19759  uvcvvcl2  19946  uvcff  19949  lindfind2  19976  mamumat1cl  20064  mat1bas  20074  matsc  20075  mat0dimid  20093  mat1mhm  20109  dmatid  20120  scmatscmide  20132  scmatscmiddistr  20133  scmatmats  20136  scmatscm  20138  scmatid  20139  scmataddcl  20141  scmatsubcl  20142  scmatmulcl  20143  smatvscl  20149  scmatrhmcl  20153  scmatf1  20156  scmatmhm  20159  mat0scmat  20163  mat1scmat  20164  mdet0pr  20217  mdet1  20226  mdetunilem8  20244  mdetunilem9  20245  mdetuni0  20246  mdetmul  20248  m2detleiblem5  20250  m2detleiblem6  20251  maducoeval2  20265  maduf  20266  madutpos  20267  madugsum  20268  madulid  20270  minmar1marrep  20275  minmar1cl  20276  marep01ma  20285  smadiadetglem1  20296  smadiadetglem2  20297  matinv  20302  1pmatscmul  20326  1elcpmat  20339  mat2pmat1  20356  decpmatid  20394  idpm2idmp  20425  chmatcl  20452  chmatval  20453  chpmat1dlem  20459  chpmat1d  20460  chpdmatlem0  20461  chpdmatlem2  20463  chpdmatlem3  20464  chpidmat  20471  chmaidscmat  20472  cpmidgsumm2pm  20493  cpmidpmatlem2  20495  cpmidpmatlem3  20496  cpmadugsumlemB  20498  cpmadugsumfi  20501  cpmidgsum2  20503  chcoeffeqlem  20509  tlmtgp  21809  nrginvrcnlem  22305  clmvsubval  22717  cvsmuleqdivd  22742  cphsubrglem  22785  deg1pwle  23683  deg1pw  23684  ply1nz  23685  ply1remlem  23726  dchrmulcl  24774  dchrinv  24786  dchrhash  24796  lgsqrlem1  24871  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873  lgsqrlem4  24874  orng0le1  29143  ofldchr  29145  suborng  29146  isarchiofld  29148  elrhmunit  29151  submatminr1  29204  madjusmdetlem1  29221  zrhnm  29341  zrhchr  29348  qqh1  29357  qqhucn  29364  lflsub  33372  eqlkr  33404  eqlkr3  33406  lduallmodlem  33457  ldualvsubcl  33461  ldualvsubval  33462  dochfl1  35783  lcfrlem2  35850  lcdvsubval  35925  mapdpglem30  36009  hgmapval1  36203  hdmapglem5  36232  mendlmod  36782  idomodle  36793  isdomn3  36801  mon1pid  36802  mon1psubm  36803  deg1mhm  36804  lidldomn1  41711  mgpsumn  41935  ascl0  41959  ascl1  41960  ply1sclrmsm  41965  coe1id  41966  evl1at1  41974  linc0scn0  42006  linc1  42008  islindeps2  42066  lmod1lem5  42074