Theorem grpinvcl 17290

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 17289	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelrnda 6267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249

This theorem is referenced by:  grprinv  17292  grpinvid1  17293  grpinvid2  17294  grplrinv  17296  grplcan  17300  grpasscan1  17301  grpasscan2  17302  grpinvinv  17305  grpinvcnv  17306  grpinvnzcl  17310  grpsubinv  17311  grplmulf1o  17312  grpinvssd  17315  grpinvadd  17316  grpsubf  17317  grpsubrcan  17319  grpinvsub  17320  grpinvval2  17321  grpsubeq0  17324  grpsubadd  17326  grpaddsubass  17328  grpnpcan  17330  dfgrp3  17337  grplactcnv  17341  grpsubpropd2  17344  prdsinvlem  17347  pwssub  17352  imasgrp  17354  ghmgrp  17362  mulgcl  17382  mulgaddcomlem  17386  mulginvcom  17388  mulginvinv  17389  mulgneg2  17398  subginv  17424  subginvcl  17426  issubg4  17436  grpissubg  17437  isnsg3  17451  subgacs  17452  nmzsubg  17458  eqger  17467  eqglact  17468  eqgcpbl  17471  qusgrp  17472  qusinv  17476  qussub  17477  ghminv  17490  ghmsub  17491  ghmrn  17496  ghmpreima  17505  ghmeql  17506  conjghm  17514  conjnmz  17517  galcan  17560  gacan  17561  gapm  17562  gaorber  17564  gastacl  17565  gastacos  17566  cntzsubg  17592  oppggrp  17610  symgsssg  17710  symgfisg  17711  odinv  17801  sylow2blem1  17858  sylow2blem3  17860  frgpuptf  18006  frgpuplem  18008  ablinvadd  18038  ablsub2inv  18039  ablsub4  18041  ablsubsub4  18047  mulgsubdi  18058  invghm  18062  eqgabl  18063  torsubg  18080  oddvdssubg  18081  cyggeninv  18108  ringnegl  18417  rngnegr  18418  ringmneg1  18419  ringmneg2  18420  ringm2neg  18421  ringsubdi  18422  rngsubdir  18423  dvdsrneg  18477  unitinvcl  18497  unitnegcl  18504  isdrng2  18580  cntzsubr  18635  abvneg  18657  abvsubtri  18658  lmodvnegcl  18727  lmodvneg1  18729  lmodvsneg  18730  lmodsubvs  18742  lmodsubdi  18743  lmodsubdir  18744  lssvsubcl  18765  lssvnegcl  18777  lspsnneg  18827  lmodvsinv  18857  lmodvsinv2  18858  lspexch  18950  lspsolvlem  18963  mplsubglem  19255  mplind  19323  zrhpsgninv  19750  evpmodpmf1o  19761  dsmmsubg  19906  cpmatinvcl  20341  chpscmatgsumbin  20468  chpscmatgsummon  20469  tgplacthmeo  21717  tgpconcomp  21726  qustgpopn  21733  tsmsxplem1  21766  tlmtgp  21809  isngp4  22226  ngpinvds  22227  ngpsubcan  22228  nmtri  22240  ngptgp  22250  tngngp3  22270  ncvspi  22764  deg1suble  23671  deg1sub  23672  dchr2sum  24798  dchrisum0re  25002  ogrpinvOLD  29046  ogrpinv0le  29047  ogrpsub  29048  ogrpaddltbi  29050  ogrpaddltrbid  29052  ogrpinv0lt  29054  ogrpinvlt  29055  archirngz  29074  archiabllem1b  29077  archiabllem2c  29080  orngsqr  29135  symgfcoeu  29176  madjusmdetlem3  29223  madjusmdetlem4  29224  lflsub  33372  lflnegcl  33380  ldualvsubcl  33461  ldualvsubval  33462  dvhgrp  35414  lcfrlem2  35850  lcdvsubval  35925  mapdpglem30  36009  baerlem3lem1  36014  baerlem5alem1  36015  baerlem5blem1  36016  baerlem5blem2  36019  invginvrid  41942  lincext1  42037  lindslinindimp2lem1  42041  ldepsprlem  42055  ldepspr  42056  lincresunit3lem3  42057  lincresunit3lem1  42062  lincresunit3lem2  42063  lincresunit3  42064