Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv1z 18655
 Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p 1 = (1r𝑅)
abv1z.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abv1z ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 18644 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 abv1.p . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
53, 4ringidcl 18391 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅))
71, 3abvcl 18647 . . . . . 6 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
86, 7mpdan 699 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
109recnd 9947 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ∈ ℂ)
11 simpl 472 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 𝐹𝐴)
126adantr 480 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13 simpr 476 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 10 )
14 abv1z.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
151, 3, 14abvne0 18650 . . . 4 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 10 ) → (𝐹1 ) ≠ 0)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1318 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ≠ 0)
1710, 10, 16divcan3d 10685 . 2 ((𝐹𝐴10 ) → (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )) = (𝐹1 ))
182adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴10 ) → 𝑅 ∈ Ring)
19 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
203, 19, 4ringlidm 18394 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
2118, 12, 20syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐹𝐴10 ) → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
2221fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = (𝐹1 ))
231, 3, 19abvmul 18652 . . . . . 6 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2411, 12, 12, 23syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2522, 24eqtr3d 2646 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2625oveq1d 6564 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → ((𝐹1 ) / (𝐹1 )) = (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )))
2710, 16dividd 10678 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → ((𝐹1 ) / (𝐹1 )) = 1)
2826, 27eqtr3d 2646 . 2 ((𝐹𝐴10 ) → (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )) = 1)
2917, 28eqtr3d 2646 1 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370  AbsValcabv 18639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-ico 12052  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-abv 18640 This theorem is referenced by:  abv1  18656  abvneg  18657  nm1  22281  qabvle  25114  qabvexp  25115  ostthlem2  25117  ostth3  25127  ostth  25128
 Copyright terms: Public domain W3C validator