Theorem dividd 10678

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dividd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divid 10593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  nndivtr  10939  divge1  11774  xov1plusxeqvd  12189  quoremz  12516  quoremnn0ALT  12518  intfracq  12520  fldiv  12521  modid0  12558  bcn0  12959  abs1m  13923  georeclim  14442  efaddlem  14662  sqgcd  15116  prmind2  15236  divgcdodd  15260  divnumden  15294  hashgcdlem  15331  pythagtriplem19  15376  pc2dvds  15421  fldivp1  15439  abv1z  18655  dveflem  23546  dvlip  23560  elqaalem2  23879  aareccl  23885  efeq1  24079  eff1olem  24098  eflogeq  24152  tanarg  24169  logcnlem4  24191  cxpaddle  24293  logbid1  24306  isosctrlem3  24350  angpieqvdlem  24355  dcubic2  24371  2efiatan  24445  atantan  24450  birthdaylem2  24479  efrlim  24496  jensenlem2  24514  logdifbnd  24520  logdiflbnd  24521  emcllem2  24523  emcllem3  24524  emcllem5  24526  dmgmdivn0  24554  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem5  24559  lgamcvg2  24581  lgam1  24590  basellem8  24614  vmalogdivsum2  25027  2vmadivsumlem  25029  selberg4lem1  25049  pntrmax  25053  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem5  25070  pntibndlem2  25080  pntlem3  25098  brbtwn2  25585  axsegconlem10  25606  axpaschlem  25620  axcontlem8  25651  cndprobtot  29825  cvmliftlem11  30531  divcnvlin  30871  iprodgam  30881  faclim2  30887  poimirlem32  32611  dvtan  32630  areacirc  32675  irrapxlem5  36408  pellexlem6  36416  pell14qrexpclnn0  36448  reglogbas  36477  imo72b2  37497  binomcxplemrat  37571  divcan8d  38468  mccllem  38664  clim1fr1  38668  coseq0  38747  dvnxpaek  38832  stoweidlem1  38894  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919  wallispilem5  38962  stirlinglem1  38967  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem1  38996  fourierdlem4  39004  fourierdlem6  39006  fourierdlem26  39026  fourierdlem65  39064  etransclem35  39162  sharhght  39703  cotsqcscsq  42302