MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Unicode version

Theorem abvneg 16897
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvneg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvneg.p  |-  N  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
abvneg  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( N `  X )
)  =  ( F `
 X ) )

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 16884 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
4 rnggrp 16638 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
6 abvneg.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 abvneg.p . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
86, 7grpinvcl 15574 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
95, 8sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
136, 11, 12rng1eq0 16672 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  X )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( N `  X
)  =  X ) )
143, 9, 10, 13syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  ( N `  X )  =  X ) )
1514imp 429 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( N `  X )  =  X )
1615fveq2d 5690 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  X
) )  =  ( F `  X ) )
176, 11rngidcl 16653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
182, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  A  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
196, 7grpinvcl 15574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
205, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
211, 6abvcl 16887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  RR )
2220, 21mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  e.  RR )
2322recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  e.  CC )
2423sqvald 11997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
261, 6, 25abvmul 16892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B  /\  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
2720, 20, 26mpd3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
286, 25, 7, 2, 20, 18rngmneg2 16676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( N `  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) ) )
296, 25, 11, 7, 2, 18rngnegl 16673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  ( N `  ( 1r `  R ) ) )
3029fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) )  =  ( N `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
316, 7grpinvinv 15584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
325, 18, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
3328, 30, 323eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
3433fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( F `  ( 1r
`  R ) ) )
3524, 27, 343eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
371, 11, 12abv1z 16895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( F `  ( 1r `  R ) )  =  1 )
3836, 37eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  1 )
39 sq1 11952 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4038, 39syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
411, 6abvge0 16888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
4220, 41mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  A  ->  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
43 1re 9377 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
44 0le1 9855 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
45 sq11 11930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( ( F `  ( N `
 ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 ) )
4643, 44, 45mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  ->  ( (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 ) )
4722, 42, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 ) )
4847biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 )
4940, 48syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 )
5049adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 )
5150oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( 1  x.  ( F `  X ) ) )
52 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  A )
5320adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
541, 6, 25abvmul 16892 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 X ) ) )
5552, 53, 10, 54syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
) )
566, 25, 11, 7, 3, 10rngnegl 16673 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  =  ( N `  X ) )
5756fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( F `  ( N `  X ) ) )
5855, 57eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 X ) )  =  ( F `  ( N `  X ) ) )
5958adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 ( N `  X ) ) )
6051, 59eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  X
) )  =  ( F `  ( N `
 X ) ) )
611, 6abvcl 16887 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
6261recnd 9404 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
6362mulid2d 9396 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
6463adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  X
) )  =  ( F `  X ) )
6560, 64eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
6616, 65pm2.61dane 2684 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( N `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    <_ cle 9411   2c2 10363   ^cexp 11857   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   1rcur 16591   Ringcrg 16633  AbsValcabv 16879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-ico 11298  df-seq 11799  df-exp 11858  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-abv 16880
This theorem is referenced by:  abvsubtri  16898  ostthlem1  22851  ostth3  22862
  Copyright terms: Public domain W3C validator