Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvinv 17305
 Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinv
StepHypRef Expression
1 grpinvinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinvinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
4 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
61, 4, 5, 2grprinv 17292 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = (0g𝐺))
73, 6syldan 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = (0g𝐺))
81, 4, 5, 2grplinv 17291 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
97, 8eqtr4d 2647 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋))
10 simpl 472 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
111, 2grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
123, 11syldan 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
13 simpr 476 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
141, 4grplcan 17300 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋))
1510, 12, 13, 3, 14syl13anc 1320 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋))
169, 15mpbid 221 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249 This theorem is referenced by:  grpinv11  17307  grpinvnz  17309  grpsubinv  17311  grpinvsub  17320  grpsubeq0  17324  grpnpcan  17330  mulgneg  17383  mulgnegneg  17384  mulginvinv  17389  mulgdir  17396  mulgass  17402  eqger  17467  frgpuptinv  18007  ablsub2inv  18039  mulgdi  18055  invghm  18062  ringm2neg  18421  unitinvinv  18498  unitnegcl  18504  irrednegb  18534  abvneg  18657  lspsnneg  18827  islindf4  19996  tgpconcomp  21726  archirngz  29074  archiabllem1b  29077  baerlem5amN  36023  baerlem5bmN  36024  baerlem5abmN  36025
 Copyright terms: Public domain W3C validator