Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvdiv 18660
 Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvdiv.p / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvdiv (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv
StepHypRef Expression
1 simplr 788 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝐹𝐴)
2 simpr1 1060 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋𝐵)
3 simpll 786 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simpr2 1061 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌𝐵)
5 simpr3 1062 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌0 )
6 abvneg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
96, 7, 8drnginvrcl 18587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌𝐵𝑌0 ) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
103, 4, 5, 9syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1311, 6, 12abvmul 18652 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
1511, 6, 7, 8abvrec 18659 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
16153adantr1 1213 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
1716oveq2d 6565 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
1814, 17eqtrd 2644 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
19 eqid 2610 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
206, 19, 7drngunit 18575 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
213, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
224, 5, 21mpbir2and 959 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 abvdiv.p . . . . 5 / = (/r𝑅)
246, 12, 19, 8, 23dvrval 18508 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
252, 22, 24syl2anc 691 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2625fveq2d 6107 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))))
2711, 6abvcl 18647 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
281, 2, 27syl2anc 691 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
2928recnd 9947 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
3011, 6abvcl 18647 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
311, 4, 30syl2anc 691 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
3231recnd 9947 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
3311, 6, 7abvne0 18650 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑌𝐵𝑌0 ) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
341, 4, 5, 33syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
3529, 32, 34divrecd 10683 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
3618, 26, 353eqtr4d 2654 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Unitcui 18462  invrcinvr 18494  /rcdvr 18505  DivRingcdr 18570  AbsValcabv 18639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ico 12052  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-abv 18640 This theorem is referenced by:  ostthlem1  25116
 Copyright terms: Public domain W3C validator