Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvdom 18661
 Description: Any ring with an absolute value is a domain, which is to say that it contains no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvdom.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvdom ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem abvdom
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝐹𝐴)
2 simp2l 1080 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋𝐵)
3 simp3l 1082 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌𝐵)
4 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 abvdom.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
74, 5, 6abvmul 18652 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1318 . . 3 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))
94, 5abvcl 18647 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
101, 2, 9syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
1110recnd 9947 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
124, 5abvcl 18647 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
131, 3, 12syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
1413recnd 9947 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
15 simp2r 1081 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋0 )
16 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
174, 5, 16abvne0 18650 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
181, 2, 15, 17syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
19 simp3r 1083 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌0 )
204, 5, 16abvne0 18650 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵𝑌0 ) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
211, 3, 19, 20syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
2211, 14, 18, 21mulne0d 10558 . . 3 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)) ≠ 0)
238, 22eqnetrd 2849 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0)
244, 16abv0 18654 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (𝐹0 ) = 0)
251, 24syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹0 ) = 0)
26 fveq2 6103 . . . . 5 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹0 ))
2726eqeq1d 2612 . . . 4 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0 ↔ (𝐹0 ) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 236 . . 3 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0))
2928necon3d 2803 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
3023, 29mpd 15 1 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  AbsValcabv 18639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-ico 12052  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-abv 18640 This theorem is referenced by:  abvn0b  19123
 Copyright terms: Public domain W3C validator