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Theorem ostthlem1 22876
Description: Lemma for ostth 22888. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
ostthlem1.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostthlem1.2  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
ostthlem1.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
Assertion
Ref Expression
ostthlem1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    n, G    ph, n    A, n    Q, n   
n, F

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 qabsabv.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 qrng.q . . . . 5  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 22868 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
52, 4abvf 16908 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : QQ --> RR )
6 ffn 5559 . . 3  |-  ( F : QQ --> RR  ->  F  Fn  QQ )
71, 5, 63syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  QQ )
8 ostthlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
92, 4abvf 16908 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  G : QQ --> RR )
10 ffn 5559 . . 3  |-  ( G : QQ --> RR  ->  G  Fn  QQ )
118, 9, 103syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  QQ )
12 elq 10955 . . . 4  |-  ( y  e.  QQ  <->  E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n ) )
133qdrng 22869 . . . . . . . . . 10  |-  Q  e.  DivRing
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  Q  e.  DivRing )
151adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  F  e.  A )
16 zq 10959 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
k  e.  QQ )
18 nnq 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1918ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  QQ )
20 nnne0 10354 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  =/=  0 )
223qrng0 22870 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  Q )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (/r `  Q
)  =  (/r `  Q
)
242, 4, 22, 23abvdiv 16922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( F `  n
) ) )
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
268adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  G  e.  A )
272, 4, 22, 23abvdiv 16922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( G `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( G `
 k )  / 
( G `  n
) ) )
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( G `  k
)  /  ( G `
 n ) ) )
29 elz 10648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  <->  ( k  e.  RR  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) ) )
3029simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
322, 22abv0 16916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
342, 22abv0 16916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  A  ->  ( G `  0 )  =  0 )
358, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  0 )
3633, 35eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
37 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
38 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( G `  k )  =  ( G ` 
0 ) )
3937, 38eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  0 )  =  ( G `  0
) ) )
4036, 39syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4241imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
43 elnn1uz2 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
443qrng1 22871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 1r `  Q )
452, 44abv1 16918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  ->  ( F `  1 )  =  1 )
4613, 1, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  1 )
472, 44abv1 16918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  ->  ( G `  1 )  =  1 )
4813, 8, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  1 )
4946, 48eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
50 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
51 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
5250, 51eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  1 )  =  ( G `  1
) ) )
5349, 52syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  = 
1 )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
55 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5654, 55jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5743, 56sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( G `  n
) )
5857ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
60 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
61 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
6260, 61eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
6362rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6459, 63sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6558ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
6616adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  QQ )
673qrngneg 22872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  QQ  ->  (
( invg `  Q ) `  k
)  =  -u k
)
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( invg `  Q
) `  k )  =  -u k )
6968eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( invg `  Q ) `  k
)  e.  NN  <->  -u k  e.  NN ) )
7069biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( invg `  Q ) `  k
)  e.  NN )
71 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( invg `  Q ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 ( ( invg `  Q ) `
 k ) ) )
72 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( invg `  Q ) `
 k )  -> 
( G `  n
)  =  ( G `
 ( ( invg `  Q ) `
 k ) ) )
7371, 72eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( invg `  Q ) `
 k )  -> 
( ( F `  n )  =  ( G `  n )  <-> 
( F `  (
( invg `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( invg `  Q
) `  k )
) ) )
7473rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  (
( invg `  Q ) `  k
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( invg `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( invg `  Q
) `  k )
) )
7565, 70, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( invg `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  ( ( invg `  Q ) `  k
) ) )
761ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  F  e.  A )
7716ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  k  e.  QQ )
78 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  Q )  =  ( invg `  Q )
792, 4, 78abvneg 16919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  (
( invg `  Q ) `  k
) )  =  ( F `  k ) )
8076, 77, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( invg `  Q ) `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  G  e.  A )
822, 4, 78abvneg 16919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( G `  (
( invg `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  k ) )
8381, 77, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( G `  ( ( invg `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
8475, 80, 833eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8542, 64, 843jaodan 1284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8631, 85mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  ( G `  k
) )
8786adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
8857adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( G `
 n ) )
8987, 88oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  k )  /  ( F `  n )
)  =  ( ( G `  k )  /  ( G `  n ) ) )
9028, 89eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
9125, 90eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k (/r `  Q ) n ) ) )
923qrngdiv 22873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
k (/r `  Q ) n )  =  ( k  /  n ) )
9317, 19, 21, 92syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( k (/r `  Q
) n )  =  ( k  /  n
) )
9493fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( F `  ( k  /  n ) ) )
9593fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) )
9691, 94, 953eqtr3d 2483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k  /  n ) )  =  ( G `
 ( k  /  n ) ) )
97 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( k  /  n
) ) )
98 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( k  /  n
) ) )
9997, 98eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  <->  ( F `  ( k  /  n
) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) ) )
10096, 99syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
101100rexlimdvva 2848 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
10212, 101syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
103102imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  QQ )  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) )
1047, 11, 103eqfnfvd 5800 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   QQcq 10953   ↾s cress 14175   invgcminusg 15411  /rcdvr 16774   DivRingcdr 16832  AbsValcabv 16901  ℂfldccnfld 17818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-ico 11306  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678  df-cmn 16279  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-cnfld 17819
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