Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq2 12686
 Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
seqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
seqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
seqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfveq2.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11568 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 seqfn 12675 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
5 uzss 11584 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
7 fnssres 5918 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
84, 6, 7syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
9 eluzelz 11573 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 seqfn 12675 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
12 fvres 6117 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
1312adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
141adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
15 seqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
1615adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
17 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
18 elfzuz 12209 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
19 seqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2018, 19sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2120adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2214, 16, 17, 21seqfveq2 12685 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
2313, 22eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
248, 11, 23eqfnfvd 6222 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664 This theorem is referenced by:  seqid  12708
 Copyright terms: Public domain W3C validator