Theorem seqfeq2 12686

Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
seqfeq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfveq2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 11568	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seqfn 12675	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
5		uzss 11584	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		fnssres 5918	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
8	4, 6, 7	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
9		eluzelz 11573	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		seqfn 12675	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12		fvres 6117	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
14	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		seqfveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
17		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
18		elfzuz 12209	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
19		seqfeq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
20	18, 19	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
21	20	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
22	14, 16, 17, 21	seqfveq2 12685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
23	13, 22	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
24	8, 11, 23	eqfnfvd 6222	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664

This theorem is referenced by:  seqid  12708