Theorem elfzuz 12209

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12207	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfzel1  12212  elfzelz  12213  elfzle1  12215  eluzfz2b  12221  fzsplit2  12237  fzsplit  12238  fzopth  12249  fzss1  12251  fzss2  12252  fzssuz  12253  fzp1elp1  12264  uzsplit  12281  elfzmlbm  12318  predfz  12333  fzosplit  12370  seqf2  12682  seqfeq2  12686  seqfeq  12688  sermono  12695  seqf1olem2  12703  seqz  12711  seqfeq3  12713  ser0  12715  seqcoll  13105  swrdval2  13272  swrd0val  13273  swrdswrd  13312  swrdccatin12  13342  splid  13355  spllen  13356  splfv1  13357  limsupgre  14060  clim2ser  14233  clim2ser2  14234  isermulc2  14236  iserle  14238  climub  14240  isercolllem1  14243  isercolllem3  14245  isercoll2  14247  iseraltlem1  14260  fsumcvg  14290  fsumser  14308  isumclim3  14332  isumadd  14340  fsump1i  14342  fsum0diaglem  14350  o1fsum  14386  iserabs  14388  cvgcmp  14389  cvgcmpub  14390  cvgcmpce  14391  isumsplit  14411  isum1p  14412  isumsup2  14417  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  climcnds  14422  geoserg  14437  mertenslem1  14455  clim2div  14460  prodf1  14462  prodfn0  14465  ntrivcvgmullem  14472  fprodcvg  14499  fprodntriv  14511  fprodabs  14543  fprodeq0  14544  iprodclim3  14570  iprodmul  14573  fprodefsum  14664  prmind2  15236  prmdvdsfz  15255  pcfac  15441  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  prmgaplem1  15591  prmgaplem2  15592  prmgaplcmlem2  15594  prmgapprmolem  15603  efgtlen  17962  efgredleme  17979  efgredlemc  17981  frgpuplem  18008  ovolunlem1a  23071  ovolicc1  23091  uniioombllem3  23159  dvfsumrlimf  23592  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem3  23595  dvfsumlem4  23596  dvfsum2  23601  coeidlem  23797  coeid3  23800  vieta1lem2  23870  mtest  23962  mtestbdd  23963  birthdaylem2  24479  wilth  24597  ftalem4  24602  ftalem5  24603  chtub  24737  mersenne  24752  bposlem6  24814  lgsdilem2  24858  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  dchrisumlem2  24979  dchrisum0lem1  25005  logdivbnd  25045  pntrsumbnd2  25056  pntrlog2bndlem1  25066  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemh  25088  pntlemj  25092  axlowdimlem17  25638  fzsplit3  28940  ballotlemfrci  29916  wrdsplex  29944  subfacp1lem3  30418  knoppcnlem11  31663  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  mettrifi  32723  geomcau  32725  iunincfi  38300  elfzfzo  38429  fsumsermpt  38646  fmulcl  38648  fmuldfeqlem1  38649  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem11  38904  stoweidlem17  38910  stirlinglem7  38973  fourierdlem15  39015  fourierdlem25  39025  sge0isum  39320  sge0seq  39339  sge0reuz  39340  sge0reuzb  39341  iundjiun  39353  meaiuninclem  39373  carageniuncllem1  39411  carageniuncllem2  39412  caratheodorylem1  39416  iccpartgt  39965  pfxccatin12  40288  pfxccatpfx2  40291  ssfz12  40351