Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserabs 14388
 Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserabs.2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserabs.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserabs.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
iserabs.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iserabs (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserabs.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iserabs.2 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 fvex 6113 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2684 . . . . 5 𝑍 ∈ V
65mptex 6390 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V)
8 iserabs.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
91, 2, 8serf 12691 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
109ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
11 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
1211fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
13 eqid 2610 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))
14 fvex 6113 . . . . 5 (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6191 . . . 4 (𝑛𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
1615adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
171, 3, 7, 2, 10, 16climabs 14182 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ⇝ (abs‘𝐴))
18 iserabs.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
1910abscld 14023 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℝ)
2016, 19eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ∈ ℝ)
21 iserabs.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
228abscld 14023 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
241, 2, 23serfre 12692 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6267 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
26 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
2726, 1syl6eleq 2698 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
28 elfzuz 12209 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2928, 1syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
3029, 8sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3229, 21sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
3332adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
3427, 31, 33seqabs 14387 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
3516, 34eqbrtrd 4605 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
361, 2, 17, 18, 20, 25, 35climle 14218 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  abscabs 13822   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  eftlub  14678  abelthlem7  23996
 Copyright terms: Public domain W3C validator