ovolunlem1a - Metamath Proof Explorer

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Theorem ovolunlem1a 23071

Description: Lemma for ovolun 23074. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovolun.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
ovolun.b	⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
ovolun.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
ovolun.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolun.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
ovolun.u	⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
ovolun.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑_𝑚 ℕ))
ovolun.f2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
ovolun.f3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
ovolun.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑_𝑚 ℕ))
ovolun.g2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
ovolun.g3	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
ovolun.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))))

**Assertion**
Ref	Expression
ovolunlem1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘𝑘) ≤ (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝐶 𝑘,𝐹,𝑛 𝑘,𝐻 𝐴,𝑘,𝑛 𝐵,𝑘,𝑛 𝑆,𝑘 𝑇,𝑘 𝑘,𝐺,𝑛 𝜑,𝑘,𝑛 𝑈,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑛) 𝑇(𝑛) 𝑈(𝑛) 𝐻(𝑛)

Proof of Theorem ovolunlem1a Dummy variables 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolun.g1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑_𝑚 ℕ))
2		reex 9906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
3	2, 2	xpex 6860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
4	3	inex2 4728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
5		nnex 10903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	elmap 7772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑_𝑚 ℕ) ↔ 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
7	1, 6	sylib 207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
9	8	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑛 / 2)) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
10		nneo 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ))
12	11	con2bid 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ))
13	12	biimpar 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ)
14		ovolun.f1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑_𝑚 ℕ))
15	4, 5	elmap 7772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑_𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
16	14, 15	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
18	17	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
19	13, 18	syldan 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
20	9, 19	ifclda 4070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
21		ovolun.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))))
22	20, 21	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
23		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)
24		ovolun.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))
25	23, 24	ovolsf 23048	. . . . 5 ⊢ (𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞))
26	22, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞))
27		rge0ssre 12151	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
28		fss 5969	. . . 4 ⊢ ((𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝑈:ℕ⟶ℝ)
29	26, 27, 28	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:ℕ⟶ℝ)
30	29	ffvelrnda 6267	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘𝑘) ∈ ℝ)
31		2nn 11062	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		peano2nn 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	nnred 10912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
35	34	rehalfcld 11156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℝ)
36	35	flcld 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
37		ax-1cn 9873	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37	2timesi 11024	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
39		nnge1 10923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
41		nnre 10904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		1re 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		leadd1 10375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1)))
45	43, 43, 44	mp3an13 1407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1)))
47	40, 46	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
48	38, 47	syl5eqbr 4618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 1) ≤ (𝑘 + 1))
49		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
50		2pos 10989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
51	49, 50	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
52		lemuldiv2 10783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 1) ≤ (𝑘 + 1) ↔ 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2)))
53	43, 51, 52	mp3an13 1407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → ((2 · 1) ≤ (𝑘 + 1) ↔ 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2)))
54	34, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 1) ≤ (𝑘 + 1) ↔ 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2)))
55	48, 54	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2))
56		1z 11284	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
57		flge 12468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
58	35, 56, 57	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ ((𝑘 + 1) / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
59	55, 58	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))
60		elnnz1 11280	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
61	36, 59, 60	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ)
62		nnmulcl 10920	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ)
63	31, 61, 62	sylancr 694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ)
64	29	ffvelrnda 6267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ∈ ℝ)
65	63, 64	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ∈ ℝ)
66		ovolun.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
67	66	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
68		ovolun.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
69	68	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
70	67, 69	readdcld 9948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ∈ ℝ)
71		ovolun.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
72	71	rpred 11748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
73	70, 72	readdcld 9948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶) ∈ ℝ)
74	73	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶) ∈ ℝ)
75		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76		nnuz 11599	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
77	75, 76	syl6eleq 2698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
78		nnz 11276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
79	78	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
80		flhalf 12493	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
81	79, 80	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
82		nnz 11276	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
83		eluz 11577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ_≥‘𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
84	78, 82, 83	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℕ) → ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ_≥‘𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
85	75, 63, 84	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ_≥‘𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
86	81, 85	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ (ℤ_≥‘𝑘))
87		elfznn 12241	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) → 𝑗 ∈ ℕ)
88	23	ovolfsf 23047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻):ℕ⟶(0[,)+∞))
89	22, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻):ℕ⟶(0[,)+∞))
90	89	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻):ℕ⟶(0[,)+∞))
91	90	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (0[,)+∞))
92		elrege0 12149	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗)))
93	91, 92	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗)))
94	93	simpld 474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ)
95	87, 94	sylan2 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ ℝ)
96		elfzuz 12209	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑘 + 1)...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 + 1)))
97		eluznn 11634	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
98	33, 96, 97	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑘 + 1)...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))) → 𝑗 ∈ ℕ)
99	93	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗))
100	98, 99	syldan 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑘 + 1)...(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘𝑗))
101	77, 86, 95, 100	sermono 12695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘𝑘) ≤ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
102	24	fveq1i 6104	. . 3 ⊢ (𝑈‘𝑘) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘𝑘)
103	24	fveq1i 6104	. . 3 ⊢ (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
104	101, 102, 103	3brtr4g 4617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘𝑘) ≤ (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
105		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
106		ovolun.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
107	105, 106	ovolsf 23048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
108	16, 107	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞))
109		frn 5966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ (0[,)+∞))
111	110, 27	syl6ss 3580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
113		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝑆 Fn ℕ)
114	108, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn ℕ)
115	114	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 Fn ℕ)
116		fnfvelrn 6264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 Fn ℕ ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑆)
117	115, 61, 116	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑆)
118	112, 117	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
119		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
120		ovolun.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
121	119, 120	ovolsf 23048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
122	7, 121	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
123		frn 5966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
125	124, 27	syl6ss 3580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
126	125	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
127		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝑇 Fn ℕ)
128	122, 127	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn ℕ)
129	128	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 Fn ℕ)
130		fnfvelrn 6264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 Fn ℕ ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑇)
131	129, 61, 130	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑇)
132	126, 131	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
133	72	rehalfcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
134	67, 133	readdcld 9948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
135	134	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
136	69, 133	readdcld 9948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
137	136	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
138		ressxr 9962	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
139	111, 138	syl6ss 3580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ^*)
140		supxrcl 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝑆 ⊆ ℝ^* → sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
142		1nn 10908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
143		fdm 5964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆:ℕ⟶(0[,)+∞) → dom 𝑆 = ℕ)
144	108, 143	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = ℕ)
145	142, 144	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑆)
146		ne0i 3880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ dom 𝑆 → dom 𝑆 ≠ ∅)
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ≠ ∅)
148		dm0rn0 5263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑆 = ∅ ↔ ran 𝑆 = ∅)
149	148	necon3bii 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝑆 ≠ ∅ ↔ ran 𝑆 ≠ ∅)
150	147, 149	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ≠ ∅)
151		supxrgtmnf 12031	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑆 ≠ ∅) → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ))
152	111, 150, 151	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ))
153		ovolun.f3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
154		xrre 11874	. . . . . . 7 ⊢ (((sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ ((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)))) → sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
155	141, 134, 152, 153, 154	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
156	155	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
157	139	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ran 𝑆 ⊆ ℝ^*)
158		supxrub 12026	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ^* ∧ (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑆) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ))
159	157, 117, 158	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ^*, < ))
160	153	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑆, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
161	118, 156, 135, 159, 160	letrd 10073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 / 2)))
162	125, 138	syl6ss 3580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ^*)
163		supxrcl 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℝ^* → sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
164	162, 163	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
165		fdm 5964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → dom 𝑇 = ℕ)
166	122, 165	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
167	142, 166	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
168		ne0i 3880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ dom 𝑇 → dom 𝑇 ≠ ∅)
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
170		dm0rn0 5263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
171	170	necon3bii 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
172	169, 171	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
173		supxrgtmnf 12031	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅) → -∞ < sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ))
174	125, 172, 173	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ))
175		ovolun.g3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
176		xrre 11874	. . . . . . 7 ⊢ (((sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ∧ sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2)))) → sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
177	164, 136, 174, 175, 176	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
178	177	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ) ∈ ℝ)
179	162	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ran 𝑇 ⊆ ℝ^*)
180		supxrub 12026	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ^* ∧ (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ∈ ran 𝑇) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ))
181	179, 131, 180	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ^*, < ))
182	175	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(ran 𝑇, ℝ^, < ) ≤ ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
183	132, 178, 137, 181, 182	letrd 10073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) ≤ ((vol*‘𝐵) + (𝐶 / 2)))
184	118, 132, 135, 137, 161, 183	le2addd 10525	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ≤ (((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)) + ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2))))
185		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (2 · 𝑧) = (2 · 1))
186	185	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · 1)))
187		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑆‘𝑧) = (𝑆‘1))
188		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘1))
189	187, 188	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)))
190	186, 189	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · 1)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1))))
191	190	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · 1)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)))))
192		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑘))
193	192	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · 𝑘)))
194		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑆‘𝑧) = (𝑆‘𝑘))
195		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘𝑘))
196	194, 195	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)))
197	193, 196	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘))))
198	197	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)))))
199		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑧) = (2 · (𝑘 + 1)))
200	199	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))))
201		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑆‘𝑧) = (𝑆‘(𝑘 + 1)))
202		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘(𝑘 + 1)))
203	201, 202	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))
204	200, 203	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1)))))
205	204	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))))
206		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (2 · 𝑧) = (2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
207	206	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
208		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (𝑆‘𝑧) = (𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
209		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))
210	208, 209	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
211	207, 210	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → ((𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧)) ↔ (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))))
212	211	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑧)) = ((𝑆‘𝑧) + (𝑇‘𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))))
213	24	fveq1i 6104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈‘(2 · 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 1))
214	23	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 1 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘1) = ((2^nd ‘(𝐻‘1)) − (1^st ‘(𝐻‘1))))
215	22, 142, 214	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘1) = ((2^nd ‘(𝐻‘1)) − (1^st ‘(𝐻‘1))))
216		halfnz 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
217		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (𝑛 / 2) ∈ ℤ)
218		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 / 2) = (1 / 2))
219	218	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
220	217, 219	syl5ib 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℤ))
221	216, 220	mtoi 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
222	221	iffalsed 4047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)))
223		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
224		df-2 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
225	223, 224	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
226	225	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 + 1) / 2) = (2 / 2))
227		2div2e1 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 / 2) = 1
228	226, 227	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 + 1) / 2) = 1)
229	228	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) = (𝐹‘1))
230	222, 229	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐹‘1))
231		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
232	230, 21, 231	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐻‘1) = (𝐹‘1))
233	142, 232	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻‘1) = (𝐹‘1)
234	233	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2^nd ‘(𝐻‘1)) = (2^nd ‘(𝐹‘1))
235	233	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘(𝐻‘1)) = (1^st ‘(𝐹‘1))
236	234, 235	oveq12i 6561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘(𝐻‘1)) − (1^st ‘(𝐻‘1))) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1)))
237	215, 236	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘1) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))))
238	56, 237	seq1i 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘1) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))))
239		2t1e2 11053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
240	239	fveq2i 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(2 · 1)) = (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2)
241	23	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 2 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2) = ((2^nd ‘(𝐻‘2)) − (1^st ‘(𝐻‘2))))
242	22, 31, 241	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2) = ((2^nd ‘(𝐻‘2)) − (1^st ‘(𝐻‘2))))
243		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 / 2) = (2 / 2))
244	243, 227	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 / 2) = 1)
245	244, 142	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 / 2) ∈ ℕ)
246	245	iftrued 4044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 2 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐺‘(𝑛 / 2)))
247	244	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘1))
248	246, 247	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 2 → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = (𝐺‘1))
249		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺‘1) ∈ V
250	248, 21, 249	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝐻‘2) = (𝐺‘1))
251	31, 250	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻‘2) = (𝐺‘1)
252	251	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2^nd ‘(𝐻‘2)) = (2^nd ‘(𝐺‘1))
253	251	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘(𝐻‘2)) = (1^st ‘(𝐺‘1))
254	252, 253	oveq12i 6561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘(𝐻‘2)) − (1^st ‘(𝐻‘2))) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1)))
255	242, 254	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘2) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1))))
256	240, 255	syl5eq 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(2 · 1)) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1))))
257	76, 142, 38, 238, 256	seqp1i 12679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 1)) = (((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))) + ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1)))))
258	213, 257	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(2 · 1)) = (((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))) + ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1)))))
259	106	fveq1i 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆‘1) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘1)
260	105	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 1 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘1) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))))
261	16, 142, 260	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘1) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))))
262	56, 261	seq1i 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘1) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))))
263	259, 262	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘1) = ((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))))
264	120	fveq1i 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘1) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘1)
265	119	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 1 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘1) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1))))
266	7, 142, 265	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘1) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1))))
267	56, 266	seq1i 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘1) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1))))
268	264, 267	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘1) = ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1))))
269	263, 268	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)) = (((2^nd ‘(𝐹‘1)) − (1^st ‘(𝐹‘1))) + ((2^nd ‘(𝐺‘1)) − (1^st ‘(𝐺‘1)))))
270	258, 269	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(2 · 1)) = ((𝑆‘1) + (𝑇‘1)))
271		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))) = (((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
272	38	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1))
273		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
274	42	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
275		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
276	273, 274, 275	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
277		nnmulcl 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
278	31, 277	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
279	278	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
280	279	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
281	280, 275, 275	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1)))
282	272, 276, 281	3eqtr4a 2670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
283	282	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = (𝑈‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
284	24	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))
285	279	peano2nnd 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
286	285, 76	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
287		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))))
288	286, 287	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))))
289	279, 76	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ (ℤ_≥‘1))
290		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1))))
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1))))
292	24	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈‘(2 · 𝑘)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘))
293	292	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)))
294		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑛 / 2) = (((2 · 𝑘) + 1) / 2))
295	294	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ))
296	294	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)))
297		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑛 + 1) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
298	297	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → ((𝑛 + 1) / 2) = ((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))
299	298	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) = (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)))
300	295, 296, 299	ifbieq12d 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))))
301		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)) ∈ V
302		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)) ∈ V
303	301, 302	ifex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))) ∈ V
304	300, 21, 303	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ → (𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)) = if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))))
305	285, 304	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)) = if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))))
306		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ≠ 0
307	306	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
308	274, 273, 307	divcan3d 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) / 2) = 𝑘)
309	308, 75	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) / 2) ∈ ℕ)
310		nneo 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ))
311	279, 310	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ))
312	309, 311	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ)
313	312	iffalsed 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if((((2 · 𝑘) + 1) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(((2 · 𝑘) + 1) / 2)), (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))) = (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)))
314	282	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = ((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2))
315	33	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
316		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℂ
317		divcan3 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = (𝑘 + 1))
318	316, 306, 317	mp3an23 1408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℂ → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = (𝑘 + 1))
319	315, 318	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) = (𝑘 + 1))
320	314, 319	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2) = (𝑘 + 1))
321	320	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((((2 · 𝑘) + 1) + 1) / 2)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
322	305, 313, 321	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
323	322	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2^nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) = (2^nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
324	322	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1^st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) = (1^st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
325	323, 324	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2^nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) − (1^st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)))) = ((2^nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) − (1^st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
326	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
327	23	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((2^nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) − (1^st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)))))
328	326, 285, 327	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((2^nd ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1))) − (1^st ‘(𝐻‘((2 · 𝑘) + 1)))))
329	105	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((2^nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) − (1^st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
330	16, 32, 329	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((2^nd ‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) − (1^st ‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
331	325, 328, 330	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1)))
332	293, 331	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘((2 · 𝑘) + 1))))
333	291, 332	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) = ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
334	282	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = (𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
335	285	peano2nnd 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) ∈ ℕ)
336	282, 335	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
337		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝑛 / 2) = ((2 · (𝑘 + 1)) / 2))
338	337	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → ((𝑛 / 2) ∈ ℕ ↔ ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ))
339	337	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)))
340		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝑛 + 1) = ((2 · (𝑘 + 1)) + 1))
341	340	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → ((𝑛 + 1) / 2) = (((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))
342	341	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2)) = (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2)))
343	338, 339, 342	ifbieq12d 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (2 · (𝑘 + 1)) → if((𝑛 / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘(𝑛 / 2)), (𝐹‘((𝑛 + 1) / 2))) = if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))))
344		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)) ∈ V
345		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2)) ∈ V
346	344, 345	ifex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))) ∈ V
347	343, 21, 346	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))))
348	336, 347	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))))
349	319, 33	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ)
350	349	iftrued 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(((2 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℕ, (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)), (𝐹‘(((2 · (𝑘 + 1)) + 1) / 2))) = (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)))
351	319	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((2 · (𝑘 + 1)) / 2)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
352	348, 350, 351	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(2 · (𝑘 + 1))) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
353	334, 352	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
354	353	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2^nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) = (2^nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
355	353	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1^st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) = (1^st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
356	354, 355	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2^nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) − (1^st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))) = ((2^nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) − (1^st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
357	23	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐻:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2^nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) − (1^st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))))
358	326, 335, 357	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2^nd ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) − (1^st ‘(𝐻‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))))
359	119	ovolfsval 23046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) = ((2^nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) − (1^st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
360	7, 32, 359	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) = ((2^nd ‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) − (1^st ‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
361	356, 358, 360	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))
362	333, 361	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘((2 · 𝑘) + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐻)‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1))) = (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
363	288, 362	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐻))‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
364	284, 363	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
365		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
366	26, 278, 365	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
367	27, 366	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
368	367	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
369	105	ovolfsf 23047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶(0[,)+∞))
370	16, 369	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶(0[,)+∞))
371		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
372	370, 32, 371	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
373	27, 372	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
374	373	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
375	119	ovolfsf 23047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞))
376	7, 375	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞))
377		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐺):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
378	376, 32, 377	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (0[,)+∞))
379	27, 378	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
380	379	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
381	368, 374, 380	addassd 9941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑈‘(2 · 𝑘)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
382	283, 364, 381	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
383		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
384	77, 383	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
385	106	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘(𝑘 + 1))
386	106	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆‘𝑘) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘)
387	386	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
388	384, 385, 387	3eqtr4g 2669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
389		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
390	77, 389	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
391	120	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(𝑘 + 1)) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘(𝑘 + 1))
392	120	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇‘𝑘) = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘)
393	392	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))
394	390, 391, 393	3eqtr4g 2669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑘 + 1)) = ((𝑇‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))
395	388, 394	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))) = (((𝑆‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + ((𝑇‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
396	108	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
397	27, 396	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ∈ ℝ)
398	397	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ∈ ℂ)
399	122	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
400	27, 399	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) ∈ ℝ)
401	400	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑘) ∈ ℂ)
402	398, 374, 401, 380	add4d 10143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑆‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1))) + ((𝑇‘𝑘) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))) = (((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
403	395, 402	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))) = (((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))))
404	382, 403	eqeq12d 2625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝑈‘(2 · 𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1)))) = (((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) + ((((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)‘(𝑘 + 1)) + (((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)‘(𝑘 + 1))))))
405	271, 404	syl5ibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1)))))
406	405	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘)) → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))))
407	406	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝑈‘(2 · 𝑘)) = ((𝑆‘𝑘) + (𝑇‘𝑘))) → (𝜑 → (𝑈‘(2 · (𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1)) + (𝑇‘(𝑘 + 1))))))
408	191, 198, 205, 212, 270, 407	nnind 10915	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ → (𝜑 → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))))))
409	408	impcom 445	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)) ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
410	61, 409	syldan 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) = ((𝑆‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2))) + (𝑇‘(⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))))
411	67	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
412	411	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
413	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
414	413	rehalfcld 11156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
415	414	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 / 2) ∈ ℂ)
416	69	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
417	416	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℂ)
418	412, 415, 417, 415	add4d 10143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)) + ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2))) = (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))))
419	413	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
420	419	2halvesd 11155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
421	420	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2))) = (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶))
422	418, 421	eqtr2d 2645	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶) = (((vol‘𝐴) + (𝐶 / 2)) + ((vol‘𝐵) + (𝐶 / 2))))
423	184, 410, 422	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘(2 · (⌊‘((𝑘 + 1) / 2)))) ≤ (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶))
424	30, 65, 74, 104, 423	letrd 10073	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑈‘𝑘) ≤ (((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) + 𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∩ cin 3539 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 ifcif 4036 ∪ cuni 4372 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 × cxp 5036 dom cdm 5038 ran crn 5039 ∘ ccom 5042 Fn wfn 5799 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 1^st c1st 7057 2^nd c2nd 7058 ↑_𝑚 cmap 7744 supcsup 8229 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 +∞cpnf 9950 -∞cmnf 9951 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ℝ⁺crp 11708 (,)cioo 12046 [,)cico 12048 ...cfz 12197 ⌊cfl 12453 seqcseq 12663 abscabs 13822 vol*covol 23038

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-map 7746 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fl 12455 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824

This theorem is referenced by: ovolunlem1 23072

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