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Theorem pntpbnd2 25076
 Description: Lemma for pntpbnd 25077. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑦,𝐾   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴   𝑦,𝐸   𝑖,𝑌,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2div2e1 11027 . . 3 (2 / 2) = 1
2 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 ioossre 12106 . . . . . 6 (0(,)1) ⊆ ℝ
5 pntpbnd1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
64, 5sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 eliooord 12104 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
98simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
106, 9elrpd 11745 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
11 2rp 11713 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
13 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐴 + 2)
1413oveq1i 6559 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1615rpcnd 11750 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
17 2cn 10968 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
18 pncan2 10167 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
1916, 17, 18sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
2014, 19syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐴) = 2)
2120oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22 rpaddcl 11730 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2315, 11, 22sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2413, 23syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpcnd 11750 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
266recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2710rpne0d 11753 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2825, 16, 26, 27divsubdird 10719 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
2921, 28eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
3024, 10rpdivcld 11765 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3130rpred 11748 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3215rpred 11748 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332, 10rerpdivcld 11779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34 resubcl 10224 . . . . . . . 8 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
3531, 2, 34sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
3731reefcld 14657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
4036, 39mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
4140simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
42 0red 9920 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 1re 9918 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 1)
47 efgt1 14685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4940simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
5044, 37, 41, 48, 49ltletrd 10076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 𝐾)
5142, 44, 41, 46, 50lttrd 10077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐾)
5241, 51elrpd 11745 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
5352relogcld 24173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54 resubcl 10224 . . . . . . . 8 (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5553, 2, 54sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5652reeflogd 24174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
5749, 56breqtrrd 4611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58 efle 14687 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
5931, 53, 58syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
6057, 59mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
6131, 53, 3, 60lesub1dd 10522 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62 fzfid 12634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
6563, 64sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
66 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67 rerpdivcl 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
682, 10, 67sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
6968reefcld 14657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7066, 69syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
71 efgt0 14672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7372, 66syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑋)
7470rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
75 elioopnf 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7764, 76mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
7877simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 < 𝑌)
7942, 70, 65, 73, 78lttrd 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑌)
8042, 65, 79ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81 flge0nn0 12483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
8265, 80, 81syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
83 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86 eluznn 11634 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8784, 85, 86syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8887peano2nnd 10914 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8988nnrecred 10943 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9062, 89fsumrecl 14312 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9153recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92 2cnd 10970 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9365, 79elrpd 11745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
9493relogcld 24173 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
9594recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
9691, 92, 95pnpcan2d 10309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
9752, 93relogmuld 24175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
9853, 94readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
9997, 98eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
103 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnrecred 10943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106100, 105fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107106, 90readdcld 9948 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
1092, 94, 108sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110109, 90readdcld 9948 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
11141, 65remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
11265recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
113112mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
11444, 41, 50ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115 lemul1 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
11644, 41, 65, 79, 115syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117114, 116mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118113, 117eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
11942, 65, 111, 80, 118letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120 flge0nn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
121111, 119, 120syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
122 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124123nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ+)
125124relogcld 24173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127111flcld 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128127peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132131recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135126, 126, 128, 133, 134fsumshftm 14355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 1) = 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138127zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
140 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141138, 139, 140sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142137, 141oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143142sumeq1d 14279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144 reflcl 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
14565, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146145ltp1d 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147 fzdisj 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149 flwordi 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
15065, 111, 118, 149syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
15282, 121, 150, 151syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153 fzsplit 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
158157, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159158nnrecred 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160159recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161148, 154, 155, 160fsumsplit 14318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162135, 143, 1613eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163162, 107eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164 fllep1 12464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165111, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
16652, 93rpmulcld 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ+)
167166, 124logled 24177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168165, 167mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169 emre 24532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 γ ∈ ℝ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171163, 125resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
173 emgt0 24533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < γ
174172, 169, 173ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ γ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ γ)
176 harmonicbnd 24530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177123, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178169, 43elicc2i 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179178simp2bi 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
18142, 170, 171, 175, 180letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182163, 125subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183181, 182mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
18499, 125, 163, 168, 183letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185184, 162breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
18665flcld 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187186peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189188adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190189, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191126, 126, 187, 190, 134fsumshftm 14355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192145recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194192, 139, 193sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195137, 194oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196195sumeq1d 14279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197191, 196eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198197, 106eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
19984nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+)
200199relogcld 24173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
20243, 200, 201sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203 harmonicbnd 24530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
20484, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205169, 43elicc2i 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206205simp3bi 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208198, 200, 44lesubaddd 10503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209207, 208mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
21143, 94, 210sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212 peano2re 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213145, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
2143, 65remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215 epr 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e ∈ ℝ+
216 rpmulcl 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
217215, 93, 216sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
218217rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219 flle 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22065, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22112, 10rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
222 efgt1 14685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224223, 66syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < 𝑋)
22544, 70, 65, 224, 78lttrd 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑌)
22644, 65, 225ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227145, 44, 65, 65, 220, 226le2addd 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
2281122timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229227, 228breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230 ere 14658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ
231 egt2lt3 14773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
232231simpli 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
2332, 230, 232ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≤ e
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≤ e)
235230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → e ∈ ℝ)
236 lemul1 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
2373, 235, 65, 79, 236syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238234, 237mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239213, 214, 218, 229, 238letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240199, 217logled 24177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241239, 240mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242 relogmul 24142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243215, 93, 242sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244 loge 24137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘e) = 1
245244oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246243, 245syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247241, 246breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248200, 211, 44, 247leadd2dd 10521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249 df-2 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
250249oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252251, 251, 95addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253250, 252syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254248, 253breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255198, 202, 109, 209, 254letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256197, 255eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257106, 109, 90, 256leadd1dd 10520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25899, 107, 110, 185, 257letrd 10073 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25997, 258eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
26098, 109, 90lesubadd2d 10505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261259, 260mpbird 246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26296, 261eqbrtrrd 4607 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26389recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
26462, 26, 263fsummulc2 14358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
2656adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266265recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
26788nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
26888nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269266, 267, 268divrecd 10683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270265, 88nndivred 10946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271269, 270eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27262, 271fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27387nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
274 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275274pntrf 25052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅:ℝ+⟶ℝ
276275ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
277273, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
27887, 88nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279277, 278nndivred 10946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280279recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281280abscld 14023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28262, 281fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283277, 87nndivred 10946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284283recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285284abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28688nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
287 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290289adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
29165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292291flcld 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
29387nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294 zltp1le 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295292, 293, 294syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296290, 295mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297 fllt 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298291, 293, 297syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299296, 298mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301300adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303 flge 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304302, 293, 303syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305301, 304mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑛))
307 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308306, 307anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑛))
310 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
311309, 310oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅𝑦) / 𝑦) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
312311fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
313312breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314308, 313anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315314rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316315expr 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
31787, 299, 305, 316syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318288, 317mtod 188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319285, 265letrid 10068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
320319ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
321318, 320mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
322265, 285, 286, 321lediv1dd 11806 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323284, 267, 268absdivd 14042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324277recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
32587nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
32687nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327324, 325, 267, 326, 268divdiv1d 10711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328327fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329286rprege0d 11755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330 absid 13884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332331oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333323, 328, 3323eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334322, 269, 3333brtr3d 4614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
33562, 271, 281, 334fsumle 14372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287pntpbnd1 25075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338272, 282, 32, 335, 337letrd 10073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339264, 338eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
34090, 32, 10lemuldiv2d 11798 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341339, 340mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34255, 90, 33, 262, 341letrd 10073 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34335, 55, 33, 61, 342letrd 10073 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34431, 3, 33, 343subled 10509 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
34529, 344eqbrtrd 4605 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
3463, 10, 12, 345lediv23d 11814 . . 3 (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
3471, 346syl5eqbrr 4619 . 2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
3488simprd 478 . . 3 (𝜑𝐸 < 1)
349 ltnle 9996 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
3506, 43, 349sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351348, 350mpbid 221 . 2 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352347, 351pm2.65i 184 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  abscabs 13822  Σcsu 14264  expce 14631  eceu 14632  logclog 24105  γcem 24518  ψcchp 24619 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-em 24519  df-vma 24624  df-chp 24625 This theorem is referenced by:  pntpbnd  25077
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