MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubcl 10224
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 9905 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 9905 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
5 renegcl 10223 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6 readdcl 9898 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 490 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
84, 7eqeltrrd 2689 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814   + caddc 9818  cmin 10145  -cneg 10146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by:  peano2rem  10227  resubcld  10337  ltaddsub  10381  leaddsub  10383  posdif  10400  lt2sub  10405  le2sub  10406  mulsuble0b  10774  cju  10893  elz2  11271  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  difrp  11744  qbtwnre  11904  iooshf  12123  iccshftl  12179  lincmb01cmp  12186  uzsubsubfz  12234  difelfzle  12321  fzonmapblen  12381  eluzgtdifelfzo  12397  subfzo0  12452  fracle1  12466  fldiv  12521  modcl  12534  2submod  12593  modsubdir  12601  modfzo0difsn  12604  expubnd  12783  absdiflt  13905  absdifle  13906  elicc4abs  13907  abssubge0  13915  abs2difabs  13922  rddif  13928  absrdbnd  13929  climsup  14248  flo1  14425  supcvg  14427  refallfaccl  14588  resin4p  14707  recos4p  14708  cos01bnd  14755  cos01gt0  14760  pythagtriplem12  15369  pythagtriplem14  15371  pythagtriplem16  15373  fldivp1  15439  prmreclem6  15463  cshwshashlem2  15641  bl2ioo  22403  ioo2bl  22404  ioo2blex  22405  blssioo  22406  blcvx  22409  reconnlem2  22438  opnreen  22442  iirev  22536  iihalf2  22540  iccpnfhmeo  22552  iccvolcl  23142  ioovolcl  23144  ismbf3d  23227  itgrecl  23370  cmvth  23558  dvle  23574  dvcvx  23587  dvfsumge  23589  aalioulem3  23893  aaliou  23897  aaliou3lem9  23909  abelthlem2  23990  abelthlem7  23996  abelth2  24000  sincosq1sgn  24054  sincosq2sgn  24055  sincosq3sgn  24056  sincosq4sgn  24057  tangtx  24061  sinq12gt0  24063  cosq14gt0  24066  cosq14ge0  24067  cosne0  24080  sinord  24084  resinf1o  24086  tanregt0  24089  efif1olem2  24093  relogdiv  24143  logneg2  24165  logdivlti  24170  logcnlem4  24191  logccv  24209  cxpaddlelem  24292  loglesqrt  24299  ang180lem2  24340  acoscos  24420  acosbnd  24427  acosrecl  24430  atanlogaddlem  24440  atans2  24458  leibpi  24469  divsqrtsumo1  24510  cvxcl  24511  scvxcvx  24512  jensenlem2  24514  amgmlem  24516  harmonicbnd4  24537  zetacvg  24541  ftalem5  24603  basellem9  24615  mumullem2  24706  ppiub  24729  chtub  24737  bposlem1  24809  bposlem6  24814  bposlem9  24817  gausslemma2dlem1a  24890  chtppilim  24964  chto1ub  24965  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0re  25002  log2sumbnd  25033  selberglem2  25035  pntrmax  25053  pntpbnd2  25076  pntlem3  25098  brbtwn2  25585  colinearalglem4  25589  eleesub  25591  eleesubd  25592  axsegconlem2  25598  ax5seglem2  25609  ax5seglem3  25611  axpaschlem  25620  axpasch  25621  axcontlem2  25645  xlt2addrd  28913  signshf  29991  rescon  30482  sinccvglem  30820  fz0n  30869  dnibndlem4  31641  dnibndlem6  31643  dnibndlem7  31644  dnibndlem9  31646  dnibndlem10  31647  knoppndvlem15  31687  sin2h  32569  tan2h  32571  poimir  32612  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  itg2addnclem  32631  itg2addnclem3  32633  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  dvasin  32666  geomcau  32725  bfp  32793  ismrer1  32807  iccbnd  32809  rmspecsqrtnqOLD  36489  jm2.17a  36545  acongeq  36568  jm3.1lem2  36603  areaquad  36821  lptre2pt  38707  dvnmul  38833  stoweidlem59  38952  fourierdlem42  39042  hoidmvlelem2  39486  smfmullem1  39676  bgoldbtbndlem2  40222  ltsubsubaddltsub  40347  zm1nn  40348  nn0resubcl  40349  subsubelfzo0  40359  crctcsh1wlkn0lem3  41015  crctcsh1wlkn0lem7  41019  eucrctshift  41411  ply1mulgsumlem2  41969  ltsubaddb  42098  ltsubsubb  42099  ltsubadd2b  42100
  Copyright terms: Public domain W3C validator