Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem6 32660
 Description: Lemma for ftc1anc 32663- construction of simple functions within an arbitrary absolute distance of the given function. Similar to Lemma 565Ib of [Fremlin5] p. 218, but without Fremlin's additional step of converting the simple function into a continuous one, which is unnecessary to this lemma's use; also, two simple functions are used to allow for complex-valued 𝐹. (Contributed by Brendan Leahy, 31-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1anc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1anc.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1anc.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1anc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem6 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑥,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1anclem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 11734 . . 3 (𝑌 ∈ ℝ+ → (𝑌 / 2) ∈ ℝ+)
2 ftc1anc.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
3 ftc1anc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ftc1anc.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
6 ftc1anc.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ftc1anc.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
8 ftc1anc.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
9 ftc1anc.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftc1anclem5 32659 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2))
111, 10sylan2 490 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2))
12 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) d𝑡) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) d𝑡)
13 ax-icn 9874 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
14 ine0 10344 . . . . . . . 8 i ≠ 0
1513, 14reccli 10634 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / i) ∈ ℂ)
179ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
189feqmptd 6159 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)))
1918, 8eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ 𝐿1)
20 divrec2 10581 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2113, 14, 20mp3an23 1408 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2322mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))))
24 iblmbf 23340 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
2519, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
2726fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2827cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2928eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
3017recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
3130recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
3231adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) ∧ 𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
3329biimpri 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3532, 34mbfneg 23223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3629, 35sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
379ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3837recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3938recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4039negnegd 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → --(ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
4140mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
4241, 28syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))))
44 negex 10158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ∧ 𝑥𝐷) → -(ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ V)
4627negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → -(ℜ‘(𝐹𝑦)) = -(ℜ‘(𝐹𝑥)))
4746cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥)))
4847eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4948biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn → (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5145, 50mbfneg 23223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5243, 51eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
5336, 52impbida 873 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn))
54 divcl 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
55 imre 13696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5713, 14, 56mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5813, 14, 54mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
59 mulneg1 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(i · ((𝐹𝑦) / i)))
6013, 58, 59sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(i · ((𝐹𝑦) / i)))
61 divcan2 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐹𝑦) / i)) = (𝐹𝑦))
6213, 14, 61mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (i · ((𝐹𝑦) / i)) = (𝐹𝑦))
6362negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → -(i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(𝐹𝑦))
6460, 63eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(𝐹𝑦))
6564fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))) = (ℜ‘-(𝐹𝑦)))
66 reneg 13713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℜ‘-(𝐹𝑦)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6757, 65, 663eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6817, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6968mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) = (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))))
7069eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn))
7153, 70bitr4d 270 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
72 imval 13695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / i)))
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / i)))
7473mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))))
7574eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
7671, 75anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
77 ancom 465 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
7876, 77syl6bb 275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
7917ismbfcn2 23212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)))
8017, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
8180ismbfcn2 23212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
8278, 79, 813bitr4d 299 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn))
8325, 82mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn)
8423, 83eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
8516, 17, 19, 84iblmulc2nc 32645 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) ∈ 𝐿1)
86 mulcl 9899 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
8715, 17, 86sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
88 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
8987, 88fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))):𝐷⟶ℂ)
9012, 3, 4, 5, 6, 7, 85, 89ftc1anclem5 32659 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
911, 90sylan2 490 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
929ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
93 0cnd 9912 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℂ)
9492, 93ifclda 4070 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
95 imval 13695 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
97 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑡 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑡))
9897oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑡 → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
99 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / i) · (𝐹𝑡)) ∈ V
10098, 88, 99fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
102 divrec2 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10313, 14, 102mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑡) ∈ ℂ → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10492, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
105101, 104eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((𝐹𝑡) / i))
106105ifeq1da 4066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0))
107 ovif 6635 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i))
10813, 14div0i 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 / i) = 0
109 ifeq2 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 / i) = 0 → if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i)) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0))
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i)) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0)
111107, 110eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0)
112106, 111syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0) = (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i))
113112fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
11496, 113eqtr4d 2647 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)))
115114oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))
116115fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
117116mpteq2dv 4673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
118117fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
119118breq1d 4593 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
120119rexbidv 3034 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
121120adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
12291, 121mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
123 reeanv 3086 . . 3 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
124 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐷𝑡𝐷))
125 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
126124, 125ifbieq1d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))
127126fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑡 → (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
128 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
129 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ V
130127, 128, 129fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
131130oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡)) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
132131fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
133132mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
134133fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
135 rembl 23115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ∈ dom vol
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
137 0cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐷) → 0 ∈ ℂ)
13837, 137ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
140 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑥𝐷)
141140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
142141iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = 0)
1439feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
144 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐷 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
145144mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥))
146143, 145syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
147146, 8eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
1487, 136, 139, 142, 147iblss2 23378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
149138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
150149iblcn 23371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)))
151148, 150mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1))
152151simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)
153149recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
154153, 128fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)
155152, 154jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ))
156 ftc1anclem4 32658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
1571563expb 1258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
158155, 157sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝜑) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
159158ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
160134, 159syl5eqelr 2693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
161126fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑡 → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
162 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
163 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ V
164161, 162, 163fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) = (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
165164oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡)) = ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))
166165fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
167166mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
168167fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
169151simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)
170138imcld 13783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
172171, 162fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)
173169, 172jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ))
174 ftc1anclem4 32658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
1751743expb 1258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
176173, 175sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝜑) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
177176ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
178168, 177syl5eqelr 2693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
179160, 178anim12dan 878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ))
1801rpred 11748 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℝ+ → (𝑌 / 2) ∈ ℝ)
181180, 180jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ))
182 lt2add 10392 . . . . . . . . . 10 ((((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
183179, 181, 182syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑌 ∈ ℝ+) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
184183an32s 842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
18594recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
186185recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ)
187 i1ff 23249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
188187ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
189188recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
190 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑡) ∈ ℂ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
191186, 189, 190syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
192191anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
193192adantlrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
19494imcld 13783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
195194recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ)
196 i1ff 23249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
197196ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
198197recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
199 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
200195, 198, 199syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
201200anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
202 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
20313, 201, 202sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
204203adantlrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
205193, 204addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
206205abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
207206rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
208205absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
209 elxrge0 12152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
210207, 208, 209sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞))
211 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
212210, 211fmptd 6292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞))
213 icossicc 12131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
214 ge0addcl 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
215213, 214sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
216215adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
217192abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ ℝ)
218192absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
219 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
220217, 218, 219sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
221 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
222220, 221fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
223222adantrr 749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
224201abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
225201absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
226 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
227224, 225, 226sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
228 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
229227, 228fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
230229adantrl 748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
231 reex 9906 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ V)
233 inidm 3784 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
234216, 223, 230, 232, 232, 233off 6810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))):ℝ⟶(0[,]+∞))
235193, 204abstrid 14043 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
236235ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
237 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ V
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ V)
239 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
240 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ V
241240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ V)
242 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ V
243242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ V)
244 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
245 absmul 13882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
24613, 201, 245sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
247 absi 13874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs‘i) = 1
248247oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (1 · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
249224recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
250249mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
251248, 250syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
252246, 251eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
253252mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
254253adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
255232, 241, 243, 244, 254offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
256232, 206, 238, 239, 255ofrfval2 6813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
257236, 256mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
258 itg2le 23312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
259212, 234, 257, 258syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
260 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
261 absf 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs:ℂ⟶ℝ
262261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
263262feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
264 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
265192, 260, 263, 264fmptco 6303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
266 resubcl 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑡) ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
267185, 188, 266syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
268267anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
269 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
270268, 269fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))):ℝ⟶ℝ)
271135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ dom vol)
272 iunin2 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}))
273 imaiun 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦}) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})
274 iunid 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦} = ran 𝑓
275274imaeq2i 5383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦}) = (𝑓 “ ran 𝑓)
276273, 275eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}) = (𝑓 “ ran 𝑓)
277276ineq2i 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
278272, 277eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
279 cnvimass 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
280 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ V
281280, 269dmmpti 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = ℝ
282279, 281sseqtri 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ ℝ
283 cnvimarndm 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 “ ran 𝑓) = dom 𝑓
284 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:ℝ⟶ℝ → dom 𝑓 = ℝ)
285187, 284syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1 → dom 𝑓 = ℝ)
286283, 285syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ ran 𝑓) = ℝ)
287282, 286syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓))
288 df-ss 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓) ↔ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
289287, 288sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
290278, 289syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
291290ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
292 frn 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
293187, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
294293ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
295294sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → 𝑦 ∈ ℝ)
296185ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
297 resubcl 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
298185, 297sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
299298adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
300296, 2992thd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ))
301 ltaddsub 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
302185, 301syl3an3 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝜑) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
3033023comr 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
3043033expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
305300, 304anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
306 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
307306rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
308307adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
309 elioopnf 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
310308, 309syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
311 rexr 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
312311ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
313 elioopnf 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ* → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
314312, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
315305, 310, 3143bitr4rd 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)))
316 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))
317316eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞)))
318317bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞))))
319315, 318syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞))))
320319pm5.32rd 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
321320adantllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
322295, 321syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
323322rabbidv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)} = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
324187feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
325324cnveqd 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
326325imaeq1d 5384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ {𝑦}) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}))
327326ineq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
328269mptpreima 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
329 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑦 ∈ V
330 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡))
331330mptiniseg 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ V → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
332329, 331ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}
333328, 332ineq12i 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
334 inrab 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
335333, 334eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
336327, 335syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
337336ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
338326ineq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
339 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
340339mptpreima 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)}
341340, 332ineq12i 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
342 inrab 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
343341, 342eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
344338, 343syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
345344ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
346323, 337, 3453eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
347346iuneq2dv 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
348291, 347eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
349 i1frn 23250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ran 𝑓 ∈ Fin)
350349adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ran 𝑓 ∈ Fin)
35194adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
352 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑡𝐷)
353352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑡𝐷)
354353iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = 0)
3559feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
356 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = (𝐹𝑡))
357356mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡))
358355, 357syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
359 iblmbf 23340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
3608, 359syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
361358, 360eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn)
3627, 136, 351, 354, 361mbfss 23219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn)
36394adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
364363ismbfcn2 23212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn)))
365362, 364mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn))
366365simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn)
367185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
368367, 339fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ)
369 mbfima 23205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol)
370366, 368, 369syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol)
371 i1fima 23251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
372 inmbl 23117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
373370, 371, 372syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
374373ralrimivw 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
375 finiunmbl 23119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
376350, 374, 375syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
377376adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
378348, 377eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
379 iunin2 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}))
380276ineq2i 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
381379, 380eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
382 cnvimass 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
383382, 281sseqtri 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ ℝ
384383, 286syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓))
385 df-ss 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓) ↔ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
386384, 385sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
387381, 386syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
388387ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
389299, 2962thd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ))
390 ltsubadd 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
391185, 390syl3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
3923913expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
393392an32s 842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
394389, 393anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
395 elioomnf 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ* → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥)))
396312, 395syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥)))
397 elioomnf 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
398308, 397syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
399394, 396, 3983bitr4d 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))))
400316eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥)))
401400bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)))))
402399, 401syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)))))
403402pm5.32rd 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
404403adantllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
405295, 404syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
406405rabbidv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)} = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
407326ineq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
408269mptpreima 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
409408, 332ineq12i 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
410 inrab 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
411409, 410eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
412407, 411syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
413412ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
414326ineq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
415339mptpreima 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))}
416415, 332ineq12i 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
417 inrab 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
418416, 417eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
419414, 418syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
420419ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
421406, 413, 4203eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
422421iuneq2dv 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
423388, 422eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
424 mbfima 23205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol)
425366, 368, 424syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol)
426 inmbl 23117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol ∧ (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
427425, 371, 426syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
428427ralrimivw 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
429 finiunmbl 23119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
430350, 428, 429syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
431430adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
432423, 431eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
433270, 271, 378, 432ismbf2d 23214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ MblFn)
434 ftc1anclem1 32655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
435270, 433, 434syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
436265, 435eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
437436adantrr 749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
438160adantrr 749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
439178adantrl 748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
440437, 223, 438, 230, 439itg2addnc 32634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
441259, 440breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
442441adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
443 itg2cl 23305 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
444212, 443syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
445444adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
446 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
447160, 178, 446syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ (𝜑𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
448447anandis 869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
449448rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ*)
450449adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ*)
4511, 1rpaddcld 11763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ+)
452451rpxrd 11749 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*)
453452ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*)
454 xrlelttr 11863 . . . . . . . . . 10 (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ* ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
455445, 450, 453, 454syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
456442, 455mpand 707 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
457184, 456syld 46 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
458 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ)
45913, 195, 458sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ)
460186, 459jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ))
461 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
46213, 198, 461sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
463189, 462anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ))
464463anandirs 870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ))
465 addsub4 10203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ) ∧ ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
466460, 464, 465syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
467466anassrs 678 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
46894replimd 13785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
469468ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
470469oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
471198adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
472 subdi 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
47313, 472mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
474195, 471, 473syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
475474anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
476475oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
477467, 470, 4763eqtr4rd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
478477fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
479478mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
480479fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))))
481480adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))))
482 rpcn 11717 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℂ)
4834822halvesd 11155 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) = 𝑌)
484483ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) = 𝑌)
485481, 484breq12d 4596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
486457, 485sylibd 228 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
487486anassrs 678 . . . . 5 ((((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
488487reximdva 3000 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∃𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
489488reximdva 3000 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
490123, 489syl5bir 232 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ((∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
49111, 122, 490mp2and 711 1 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  ftc1anc  32663
 Copyright terms: Public domain W3C validator