Theorem abscld 14023

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 13866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14104  elo1mpt  14113  elo1mpt2  14114  elo1d  14115  o1bdd2  14120  o1bddrp  14121  rlimuni  14129  climuni  14131  o1eq  14149  rlimcld2  14157  rlimrege0  14158  climabs0  14164  mulcn2  14174  reccn2  14175  cn1lem  14176  cjcn2  14178  o1add  14192  o1mul  14193  o1sub  14194  rlimo1  14195  o1rlimmul  14197  climsqz  14219  climsqz2  14220  rlimsqzlem  14227  o1le  14231  climbdd  14250  caucvgrlem  14251  caucvgrlem2  14253  iseraltlem3  14262  iseralt  14263  fsumabs  14374  o1fsum  14386  iserabs  14388  cvgcmpce  14391  abscvgcvg  14392  divrcnv  14423  explecnv  14436  geomulcvg  14446  cvgrat  14454  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  fprodabs  14543  efcllem  14647  efaddlem  14662  eftlub  14678  ef01bndlem  14753  sin01bnd  14754  cos01bnd  14755  absef  14766  dvdsabseq  14873  alzdvds  14880  sqnprm  15252  pclem  15381  mul4sqlem  15495  xrsdsreclb  19612  gzrngunitlem  19630  gzrngunit  19631  prmirredlem  19660  nm2dif  22239  blcvx  22409  recld2  22425  addcnlem  22475  cnheiborlem  22561  cnheibor  22562  cnllycmp  22563  cphsqrtcl2  22794  ipcau2  22841  tchcphlem1  22842  ipcnlem2  22851  cncmet  22927  trirn  22991  rrxdstprj1  23000  pjthlem1  23016  volsup2  23179  mbfi1fseqlem6  23293  iblabslem  23400  iblabs  23401  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgabs  23407  bddmulibl  23411  itgcn  23415  dveflem  23546  dvlip  23560  dvlipcn  23561  c1liplem1  23563  dveq0  23567  dv11cn  23568  lhop1lem  23580  dvfsumabs  23590  dvfsumrlim  23598  dvfsumrlim2  23599  ftc1a  23604  ftc1lem4  23606  plyeq0lem  23770  aalioulem2  23892  aalioulem3  23893  aalioulem4  23894  aalioulem5  23895  aalioulem6  23896  aaliou  23897  geolim3  23898  aaliou2b  23900  aaliou3lem9  23909  ulmbdd  23956  ulmcn  23957  ulmdvlem1  23958  mtest  23962  mtestbdd  23963  iblulm  23965  itgulm  23966  radcnvlem1  23971  radcnvlem2  23972  radcnvlt1  23976  radcnvle  23978  dvradcnv  23979  pserulm  23980  psercnlem2  23982  psercnlem1  23983  psercn  23984  pserdvlem1  23985  pserdvlem2  23986  pserdv  23987  abelthlem2  23990  abelthlem3  23991  abelthlem5  23993  abelthlem7  23996  abelthlem8  23997  tanregt0  24089  efif1olem3  24094  efif1olem4  24095  eff1olem  24098  cosargd  24158  cosarg0d  24159  argrege0  24161  abslogle  24168  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  efopnlem1  24202  logtayl  24206  abscxp2  24239  cxpcn3lem  24288  abscxpbnd  24294  cosangneg2d  24337  lawcoslem1  24345  lawcos  24346  pythag  24347  isosctrlem3  24350  ssscongptld  24352  chordthmlem3  24361  chordthmlem4  24362  chordthmlem5  24363  heron  24365  bndatandm  24456  efrlim  24496  rlimcxp  24500  o1cxp  24501  cxploglim2  24505  divsqrtsumo1  24510  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem5  24559  lgambdd  24563  lgamucov  24564  lgamcvg2  24581  ftalem1  24599  ftalem2  24600  ftalem3  24601  ftalem4  24602  ftalem5  24603  ftalem7  24605  logfacbnd3  24748  logfacrlim  24749  logexprlim  24750  dchrabs  24785  lgsdirprm  24856  lgsdilem2  24858  lgsne0  24860  lgsabs1  24861  mul2sq  24944  2sqlem3  24945  2sqblem  24956  vmadivsumb  24972  rplogsumlem2  24974  dchrisumlem2  24979  dchrisumlem3  24980  dchrisum  24981  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  2vmadivsumlem  25029  log2sumbnd  25033  selberglem2  25035  selbergb  25038  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  selberg4lem1  25049  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd  25055  pntrsumbnd2  25056  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1a  25074  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntlemn  25089  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemo  25096  pntlem3  25098  pntleml  25100  smcnlem  26936  nmoub3i  27012  isblo3i  27040  htthlem  27158  bcs2  27423  pjhthlem1  27634  nmfnsetre  28120  nmfnleub2  28169  nmfnge0  28170  nmbdfnlbi  28292  nmcfnexi  28294  nmcfnlbi  28295  lnfnconi  28298  cnlnadjlem2  28311  cnlnadjlem7  28316  nmopcoadji  28344  leopnmid  28381  bhmafibid1  28975  sqsscirc2  29283  subfaclim  30424  subfacval3  30425  sinccvglem  30820  dnicld1  31632  dnibndlem2  31639  dnibndlem6  31643  dnibndlem9  31646  dnibndlem12  31649  dnicn  31652  knoppcnlem4  31656  knoppcnlem6  31658  unblimceq0lem  31667  unblimceq0  31668  unbdqndv2lem1  31670  unbdqndv2lem2  31671  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem12  31684  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem17  31689  knoppndvlem18  31690  knoppndvlem20  31692  knoppndvlem21  31693  poimirlem29  32608  poimir  32612  iblabsnclem  32643  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  itgabsnc  32649  bddiblnc  32650  ftc1cnnclem  32653  ftc1anclem1  32655  ftc1anclem2  32656  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  ftc2nc  32664  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirclem2  32671  areacirclem4  32673  areacirclem5  32674  areacirc  32675  geomcau  32725  cntotbnd  32765  rrndstprj1  32799  rrndstprj2  32800  ismrer1  32807  rencldnfilem  36402  irrapxlem2  36405  irrapxlem4  36407  irrapxlem5  36408  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  pell14qrgt0  36441  congabseq  36559  acongeq  36568  modabsdifz  36571  jm2.26lem3  36586  extoimad  37486  imo72b2lem0  37487  imo72b2  37497  dvgrat  37533  cvgdvgrat  37534  radcnvrat  37535  dvconstbi  37555  binomcxplemnotnn0  37577  dstregt0  38434  absnpncan2d  38457  absnpncan3d  38462  abslt2sqd  38517  fprodabs2  38662  mullimc  38683  mullimcf  38690  limcrecl  38696  lptre2pt  38707  limcleqr  38711  addlimc  38715  0ellimcdiv  38716  limclner  38718  climleltrp  38743  cncficcgt0  38774  dvdivbd  38813  dvbdfbdioolem1  38818  dvbdfbdioolem2  38819  dvbdfbdioo  38820  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  stoweid  38956  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  fourierdlem42  39042  fourierdlem47  39046  fourierdlem68  39067  fourierdlem70  39069  fourierdlem71  39070  fourierdlem73  39072  fourierdlem77  39076  fourierdlem80  39079  fourierdlem83  39082  fourierdlem87  39086  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  etransclem23  39150  etransclem48  39175  rrndistlt  39186  ioorrnopnlem  39200  sge0isum  39320  hoicvr  39438  smflimlem4  39660  smfmullem1  39676  smfmullem2  39677  smfmullem3  39678