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Theorem aalioulem3 23893
Description: Lemma for aaliou 23897. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑟   𝑥,𝐴,𝑟   𝑥,𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 9918 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 10224 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 10088 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 9907 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8 ssid 3587 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
9 fncpn 23502 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (Cn‘ℂ) Fn ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Cn‘ℂ) Fn ℕ0
11 1nn0 11185 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
12 fnfvelrn 6264 . . . . . . . 8 (((Cn‘ℂ) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Cn‘ℂ)‘1) ∈ ran (Cn‘ℂ))
1310, 11, 12mp2an 704 . . . . . . 7 ((Cn‘ℂ)‘1) ∈ ran (Cn‘ℂ)
14 intss1 4427 . . . . . . 7 (((Cn‘ℂ)‘1) ∈ ran (Cn‘ℂ) → ran (Cn‘ℂ) ⊆ ((Cn‘ℂ)‘1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ran (Cn‘ℂ) ⊆ ((Cn‘ℂ)‘1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17 plycpn 23848 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ran (Cn‘ℂ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ran (Cn‘ℂ))
1915, 18sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘1))
20 cpnres 23506 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((Cn‘ℝ)‘1))
217, 19, 20sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((Cn‘ℝ)‘1))
22 df-ima 5051 . . . . 5 (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23 zssre 11261 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
24 ax-resscn 9872 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
25 plyss 23759 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
2623, 24, 25mp2an 704 . . . . . . . 8 (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
2726, 16sseldi 3566 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28 plyreres 23842 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30 frn 5966 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3222, 31syl5eqss 3612 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
33 iccssre 12126 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
344, 6, 33syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
3534, 24syl6ss 3580 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
36 plyf 23758 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3716, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
38 fdm 5964 . . . . . 6 (𝐹:ℂ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
4035, 39sseqtr4d 3605 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
414, 6, 21, 32, 40c1lip3 23566 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))))
42 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4342recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
441adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
45443ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4645recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4743, 46abssubd 14040 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
48 simp3 1056 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1)
4947, 48eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1)
50 1red 9934 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
51 elicc4abs 13907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5245, 50, 42, 51syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5349, 52mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
541recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5554subidd 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
5655fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
57 abs0 13873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
58 0le1 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
5957, 58eqbrtri 4604 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘0) ≤ 1
6056, 59syl6eqbr 4622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1)
61 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
62 elicc4abs 13907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
631, 61, 1, 62syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
6460, 63mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
66653ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
67 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑟))
6867oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)))
6968fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))))
70 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝑐𝑏) = (𝑐𝑟))
7170fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑐𝑟)))
7271oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))))
7369, 72breq12d 4596 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟)))))
74 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
7574oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)) = ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟)))
7675fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))))
77 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝐴 → (𝑐𝑟) = (𝐴𝑟))
7877fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
7978oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
8076, 79breq12d 4596 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
8173, 80rspc2v 3293 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
8253, 66, 81syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
83 simp1l 1078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
84 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) = 0)
86 0cn 9911 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
8785, 86syl6eqel 2696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
8837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
89883ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9089, 43ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
9187, 90abssubd 14040 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))))
9285oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑟) − 0))
9390subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − 0) = (𝐹𝑟))
9492, 93eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = (𝐹𝑟))
9594fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9691, 95eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9796breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
9882, 97sylibd 228 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
99983exp 1256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
10099com34 89 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
101100com23 84 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
102101ralrimdv 2951 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
103102reximdva 3000 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
10441, 103mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
105 1rp 11712 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
106105a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ+)
107 recn 9905 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
108107adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
109 df-ne 2782 . . . . . . . 8 (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
110109biimpri 217 . . . . . . 7 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
111 absrpcl 13876 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
112108, 110, 111syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
113112rpreccld 11758 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ+)
114106, 113ifclda 4070 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+)
115 eqid 2610 . . . . . . . . 9 if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
116 eqif 4076 . . . . . . . . 9 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
117115, 116mpbi 219 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
118 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
119 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
1211ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
122 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
123121, 122resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
124123recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
125124abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
126125recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
127126adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
128127mul02d 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
129120, 128eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
130118, 129breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0)
13137ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
132122recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
133131, 132ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
135134absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))
136133abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
138 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
139 letri3 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
140137, 138, 139sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
141130, 135, 140mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) = 0)
142141oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · 0))
143 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
144143mul01i 10105 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
145142, 144syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = 0)
146124adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
147146absge0d 14031 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
148145, 147eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
149 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹𝑟))))
150149breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
151148, 150syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
152151expimpd 627 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
153136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
154153recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ)
155 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
156155recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
157156, 111sylancom 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
158157rpcnne0d 11757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
159 divrec2 10581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
1601593expb 1258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
161154, 158, 160syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
162 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
163162, 125remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
164162recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
165164abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
166165, 125remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
167 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
168124absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
169 leabs 13887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
170169ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
171162, 165, 125, 168, 170lemul1ad 10842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
172136, 163, 166, 167, 171letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
173172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
174125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
175153, 174, 157ledivmuld 11801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟)))))
176173, 175mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
177161, 176eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
178109, 177sylan2br 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
179 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
180179breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
181178, 180syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
182181expimpd 627 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
183152, 182jaod 394 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
184117, 183mpi 20 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
185184expr 641 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
186185imim2d 55 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
187186ralimdva 2945 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
188 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))))
189188breq1d 4593 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
190189imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
191190ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
192191rspcev 3282 . . . 4 ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
193114, 187, 192syl6an 566 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
194193rexlimdva 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
195104, 194mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   cint 4410   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  cima 5041   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  +crp 11708  [,]cicc 12049  abscabs 13822  Cnccpn 23435  Polycply 23744  degcdgr 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438  df-cpn 23439  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751
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