Theorem syl6eqbr 4622

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
syl6eqbr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
syl6eqbr.2	⊢ 𝐵𝑅𝐶

Assertion

Ref	Expression
syl6eqbr	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem syl6eqbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		syl6eqbr.2	. 2 ⊢ 𝐵𝑅𝐶
2		syl6eqbr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 4593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbiri 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   class class class wbr 4583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584

This theorem is referenced by:  syl6eqbrr  4623  domunsn  7995  mapdom1  8010  mapdom2  8016  pm54.43  8709  cdadom1  8891  infmap2  8923  inar1  9476  gruina  9519  nn0ledivnn  11817  xltnegi  11921  leexp1a  12781  discr  12863  facwordi  12938  faclbnd3  12941  hashgt12el  13070  cnpart  13828  geomulcvg  14446  dvds1  14879  ramz2  15566  ramz  15567  gex1  17829  sylow2a  17857  en1top  20599  en2top  20600  hmph0  21408  ptcmplem2  21667  dscmet  22187  dscopn  22188  xrge0tsms2  22446  htpycc  22587  pcohtpylem  22627  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcoass  22632  pcorevlem  22634  vitalilem5  23187  dvef  23547  dveq0  23567  dv11cn  23568  deg1lt0  23655  ply1rem  23727  fta1g  23731  plyremlem  23863  aalioulem3  23893  pige3  24073  relogrn  24112  logneg  24138  cxpaddlelem  24292  mule1  24674  ppiub  24729  dchrabs2  24787  bposlem1  24809  zabsle1  24821  lgseisen  24904  lgsquadlem2  24906  rpvmasumlem  24976  qabvle  25114  ostth3  25127  colinearalg  25590  eengstr  25660  konigsberg  26514  nmosetn0  27004  nmoo0  27030  siii  27092  bcsiALT  27420  branmfn  28348  esumrnmpt2  29457  ballotlemrc  29919  subfacval3  30425  sconpi1  30475  fz0n  30869  poimirlem31  32610  itg2addnclem  32631  ftc1anc  32663  radcnvrat  37535  infxr  38524  stoweidlem18  38911  stoweidlem55  38948  fourierdlem62  39061  fourierswlem  39123  eucrct2eupth  41413  exple2lt6  41939