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Theorem aalioulem3 20204
Description: Lemma for aaliou 20208. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, r   
x, A, r    x, F, r
Allowed substitution hints:    N( x, r)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 resubcl 9321 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
5 peano2re 9195 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
7 reex 9037 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
87prid1 3872 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
9 ssid 3327 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
10 fncpn 19772 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C ^n `  CC )  Fn 
NN0 )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( C ^n `  CC )  Fn  NN0
12 1nn0 10193 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
13 fnfvelrn 5826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C ^n `  CC )  Fn  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  CC ) ` 
1 )  e.  ran  ( C ^n `  CC ) )
1411, 12, 13mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( C ^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C ^n
`  CC )
15 intss1 4025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C ^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C ^n `  CC )  ->  |^| ran  ( C ^n `  CC ) 
C_  ( ( C ^n `  CC ) `
 1 ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  |^| ran  ( C ^n `  CC )  C_  ( ( C ^n `  CC ) `  1 )
17 aalioulem2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
18 plycpn 20159 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F  e.  |^| ran  ( C ^n `  CC ) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  |^| ran  ( C ^n `  CC ) )
2016, 19sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C ^n `  CC ) `  1 )
)
21 cpnres 19776 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) ` 
1 ) )  -> 
( F  |`  RR )  e.  ( ( C ^n `  RR ) `
 1 ) )
228, 20, 21sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C ^n `  RR ) `
 1 ) )
23 df-ima 4850 . . . . 5  |-  ( F
" RR )  =  ran  ( F  |`  RR )
24 zssre 10245 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
25 ax-resscn 9003 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
26 plyss 20071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR ) )
2724, 25, 26mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR )
2827, 17sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  RR ) )
29 plyreres 20153 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  RR )  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
31 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  RR ) : RR --> RR  ->  ran  ( F  |`  RR ) 
C_  RR )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  RR )  C_  RR )
3323, 32syl5eqss 3352 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
34 iccssre 10948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
354, 6, 34syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
3635, 25syl6ss 3320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  CC )
37 plyf 20070 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3817, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
39 fdm 5554 . . . . . 6  |-  ( F : CC --> CC  ->  dom 
F  =  CC )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  F  =  CC )
4136, 40sseqtr4d 3345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  dom  F )
424, 6, 22, 33, 41c1lip3 19836 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) ) )
43 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  RR )
4443recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  CC )
451adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
46453ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  RR )
4746recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  CC )
4844, 47abssubd 12210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
49 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)
5048, 49eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
)
512a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  1  e.  RR )
52 elicc4abs 12078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
) )
5346, 51, 43, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <->  ( abs `  (
r  -  A ) )  <_  1 ) )
5450, 53mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
551recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5655subidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
5756fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  =  ( abs `  0 ) )
58 abs0 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  0 )  =  0
59 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
6058, 59eqbrtri 4191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  0 )  <_ 
1
6157, 60syl6eqbr 4209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 )
622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
63 elicc4abs 12078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <_  1
) )
641, 62, 1, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 ) )
6561, 64mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
67663ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
68 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( F `  b )  =  ( F `  r ) )
6968oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )
7069fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r ) ) ) )
71 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  (
c  -  b )  =  ( c  -  r ) )
7271fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( c  -  b ) )  =  ( abs `  (
c  -  r ) ) )
7372oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  b
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( c  -  r ) ) ) )
7470, 73breq12d 4185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) ) ) )
75 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  ( F `  c )  =  ( F `  A ) )
7675oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )
7776fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r ) ) ) )
78 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  r )  =  ( A  -  r ) )
7978fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( c  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8177, 80breq12d 4185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  r ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8274, 81rspc2v 3018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  /\  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8354, 67, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
84 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ph )
85 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
87 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
8886, 87syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  e.  CC )
8938adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  F : CC
--> CC )
90893ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  F : CC
--> CC )
9190, 44ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  r )  e.  CC )
9288, 91abssubd 12210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) ) ) )
9386oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( ( F `  r )  -  0 ) )
9491subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  0 )  =  ( F `  r
) )
9593, 94eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( F `  r
) )
9695fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9792, 96eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9897breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
9983, 98sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
100993exp 1152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) ) ) )
101100com34 79 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  ( A. b  e.  (
( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
102101com23 74 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
r  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
103102ralrimdv 2755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
104103reximdva 2778 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
10542, 104mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
106 1rp 10572 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
107106a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  a  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
108 recn 9036 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
109108adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  CC )
110 df-ne 2569 . . . . . . . 8  |-  ( a  =/=  0  <->  -.  a  =  0 )
111110biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  =  0  -> 
a  =/=  0 )
112 absrpcl 12048 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a  =/=  0 )  -> 
( abs `  a
)  e.  RR+ )
113109, 111, 112syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR+ )
114113rpreccld 10614 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( 1  / 
( abs `  a
) )  e.  RR+ )
115107, 114ifclda 3726 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  e.  RR+ )
116 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )
117 eqif 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  <->  ( (
a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) ) )
118116, 117mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )
119 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
120 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
1221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
123 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  RR )
124122, 123resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
125124recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
126125abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  RR )
127126recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  CC )
128127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  CC )
129128mul02d 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
130121, 129eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
131119, 130breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0
)
13238ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  F : CC --> CC )
133123recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  CC )
134132, 133ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
135134adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
136135absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
137134abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR )
138137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
139 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
140 letri3 9116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  r )
)  =  0  <->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r )
) ) ) )
141138, 139, 140sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r
) ) ) ) )
142131, 136, 141mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  =  0 )
143142oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  0 ) )
144 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
145144mul01i 9212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
146143, 145syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  0 )
147125adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
148147absge0d 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
149146, 148eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
150 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) ) )
151150breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
152149, 151syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
153152expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
154137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
155154recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  CC )
156 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  RR )
157156recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  CC )
158157, 112sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  a )  e.  RR+ )
159158rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0
) )
160 divrec2 9651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
1611603expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( ( abs `  a
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
162155, 159, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
163 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  RR )
164163, 126remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  e.  RR )
165163recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  CC )
166165abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR )
167166, 126remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  e.  RR )
168 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
169125absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
170 leabs 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( abs `  a
) )
171170ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
172163, 166, 126, 169, 171lemul1ad 9906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
173137, 164, 167, 168, 172letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
174173adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
175126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  RR )
176154, 175, 158ledivmuld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
)  <->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
177174, 176mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
178162, 177eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
179110, 178sylan2br 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
180 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
181180breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
182179, 181syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
183182expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
184153, 183jaod 370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
185118, 184mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
186185expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
187186imim2d 50 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
188187ralimdva 2744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
189 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  =  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
190189breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
191190imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  <_ 
1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
192191ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
193192rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
194115, 188, 193ee12an 1369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
195194rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
196105, 195mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   ifcif 3699   {cpr 3775   |^|cint 4010   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   abscabs 11994   C ^nccpn 19705  Polycply 20056  degcdgr 20059
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-dvn 19708  df-cpn 19709  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063
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