MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem3 Structured version   Unicode version

Theorem aalioulem3 22856
Description: Lemma for aaliou 22860. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, r   
x, A, r    x, F, r
Allowed substitution hints:    N( x, r)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 1re 9612 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 resubcl 9902 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
5 peano2re 9770 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
7 reelprrecn 9601 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
9 fncpn 22462 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C^n `  CC )  Fn 
NN0 )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C^n `  CC )  Fn  NN0
11 1nn0 10832 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
12 fnfvelrn 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C^n `  CC )  Fn  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 CC ) ` 
1 )  e.  ran  ( C^n `  CC ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( C^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C^n `
 CC )
14 intss1 4303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C^n `  CC )  ->  |^| ran  ( C^n `  CC ) 
C_  ( ( C^n `  CC ) `
 1 ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  |^| ran  ( C^n `  CC )  C_  ( ( C^n `  CC ) `  1 )
16 aalioulem2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
17 plycpn 22811 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F  e.  |^| ran  ( C^n `  CC ) )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  |^| ran  ( C^n `  CC ) )
1915, 18sseldi 3497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `  1 )
)
20 cpnres 22466 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C^n `
 CC ) ` 
1 ) )  -> 
( F  |`  RR )  e.  ( ( C^n `  RR ) `
 1 ) )
217, 19, 20sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C^n `  RR ) `
 1 ) )
22 df-ima 5021 . . . . 5  |-  ( F
" RR )  =  ran  ( F  |`  RR )
23 zssre 10892 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
24 ax-resscn 9566 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
25 plyss 22722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR ) )
2623, 24, 25mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR )
2726, 16sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  RR ) )
28 plyreres 22805 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  RR )  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
30 frn 5743 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  RR ) : RR --> RR  ->  ran  ( F  |`  RR ) 
C_  RR )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  RR )  C_  RR )
3222, 31syl5eqss 3543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
33 iccssre 11631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
344, 6, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
3534, 24syl6ss 3511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  CC )
36 plyf 22721 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3716, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
38 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( F : CC --> CC  ->  dom 
F  =  CC )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  F  =  CC )
4035, 39sseqtr4d 3536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  dom  F )
414, 6, 21, 32, 40c1lip3 22526 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) ) )
42 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  RR )
4342recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  CC )
441adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
45443ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  RR )
4645recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  CC )
4743, 46abssubd 13296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
48 simp3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)
4947, 48eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
)
50 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  1  e.  RR )
51 elicc4abs 13164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
) )
5245, 50, 42, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <->  ( abs `  (
r  -  A ) )  <_  1 ) )
5349, 52mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
541recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5554subidd 9938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
5655fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  =  ( abs `  0 ) )
57 abs0 13130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  0 )  =  0
58 0le1 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
5957, 58eqbrtri 4475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  0 )  <_ 
1
6056, 59syl6eqbr 4493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 )
61 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
62 elicc4abs 13164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <_  1
) )
631, 61, 1, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 ) )
6460, 63mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
66653ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
67 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( F `  b )  =  ( F `  r ) )
6867oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r ) ) ) )
70 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  (
c  -  b )  =  ( c  -  r ) )
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( c  -  b ) )  =  ( abs `  (
c  -  r ) ) )
7271oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  b
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( c  -  r ) ) ) )
7369, 72breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) ) ) )
74 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  ( F `  c )  =  ( F `  A ) )
7574oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )
7675fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r ) ) ) )
77 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  r )  =  ( A  -  r ) )
7877fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( c  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
7978oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8076, 79breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  r ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8173, 80rspc2v 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  /\  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8253, 66, 81syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
83 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ph )
84 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
86 0cn 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
8785, 86syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  e.  CC )
8837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  F : CC
--> CC )
89883ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  F : CC
--> CC )
9089, 43ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  r )  e.  CC )
9187, 90abssubd 13296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) ) ) )
9285oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( ( F `  r )  -  0 ) )
9390subid1d 9939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  0 )  =  ( F `  r
) )
9492, 93eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( F `  r
) )
9594fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9691, 95eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9796breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
9882, 97sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
99983exp 1195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) ) ) )
10099com34 83 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  ( A. b  e.  (
( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
101100com23 78 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
r  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
102101ralrimdv 2873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
103102reximdva 2932 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
10441, 103mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
105 1rp 11249 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
106105a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  a  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
107 recn 9599 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
108107adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  CC )
109 df-ne 2654 . . . . . . . 8  |-  ( a  =/=  0  <->  -.  a  =  0 )
110109biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  =  0  -> 
a  =/=  0 )
111 absrpcl 13133 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a  =/=  0 )  -> 
( abs `  a
)  e.  RR+ )
112108, 110, 111syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR+ )
113112rpreccld 11291 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( 1  / 
( abs `  a
) )  e.  RR+ )
114106, 113ifclda 3976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  e.  RR+ )
115 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )
116 eqif 3982 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  <->  ( (
a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) ) )
117115, 116mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )
118 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
119 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
122 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  RR )
123121, 122resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
124123recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
125124abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  RR )
126125recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  CC )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  CC )
128127mul02d 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
129120, 128eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
130118, 129breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0
)
13137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  F : CC --> CC )
132122recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  CC )
133131, 132ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
135134absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
136133abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
138 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
139 letri3 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  r )
)  =  0  <->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r )
) ) ) )
140137, 138, 139sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r
) ) ) ) )
141130, 135, 140mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  =  0 )
142141oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  0 ) )
143 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
144143mul01i 9787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
145142, 144syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  0 )
146124adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
147146absge0d 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
148145, 147eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
149 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) ) )
150149breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
151148, 150syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
152151expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
153136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
154153recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  CC )
155 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  RR )
156155recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  CC )
157156, 111sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  a )  e.  RR+ )
158157rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0
) )
159 divrec2 10245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
1601593expb 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( ( abs `  a
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
161154, 158, 160syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
162 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  RR )
163162, 125remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  e.  RR )
164162recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  CC )
165164abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR )
166165, 125remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  e.  RR )
167 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
168124absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
169 leabs 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( abs `  a
) )
170169ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
171162, 165, 125, 168, 170lemul1ad 10505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
172136, 163, 166, 167, 171letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
174125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  RR )
175153, 174, 157ledivmuld 11330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
)  <->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
176173, 175mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
177161, 176eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
178109, 177sylan2br 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
179 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
180179breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
181178, 180syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
182181expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
183152, 182jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
184117, 183mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
185184expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
186185imim2d 52 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
187186ralimdva 2865 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
188 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  =  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
189188breq1d 4466 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
190189imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  <_ 
1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
191190ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
192191rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
193114, 187, 192syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
194193rexlimdva 2949 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
195104, 194mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ifcif 3944   {cpr 4034   |^|cint 4288   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   abscabs 13079   C^nccpn 22395  Polycply 22707  degcdgr 22710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397  df-dvn 22398  df-cpn 22399  df-ply 22711  df-coe 22713  df-dgr 22714
This theorem is referenced by:  aalioulem4  22857
  Copyright terms: Public domain W3C validator