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Theorem aalioulem3 23024
Description: Lemma for aaliou 23028. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, r   
x, A, r    x, F, r
Allowed substitution hints:    N( x, r)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 1re 9627 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 resubcl 9921 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
5 peano2re 9789 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
61, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
7 reelprrecn 9616 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8 ssid 3463 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
9 fncpn 22630 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C^n `  CC )  Fn 
NN0 )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C^n `  CC )  Fn  NN0
11 1nn0 10854 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
12 fnfvelrn 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C^n `  CC )  Fn  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 CC ) ` 
1 )  e.  ran  ( C^n `  CC ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( C^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C^n `
 CC )
14 intss1 4244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C^n `  CC ) `  1 )  e.  ran  ( C^n `  CC )  ->  |^| ran  ( C^n `  CC ) 
C_  ( ( C^n `  CC ) `
 1 ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  |^| ran  ( C^n `  CC )  C_  ( ( C^n `  CC ) `  1 )
16 aalioulem2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
17 plycpn 22979 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F  e.  |^| ran  ( C^n `  CC ) )
1816, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  |^| ran  ( C^n `  CC ) )
1915, 18sseldi 3442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `  1 )
)
20 cpnres 22634 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C^n `
 CC ) ` 
1 ) )  -> 
( F  |`  RR )  e.  ( ( C^n `  RR ) `
 1 ) )
217, 19, 20sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR )  e.  ( ( C^n `  RR ) `
 1 ) )
22 df-ima 4838 . . . . 5  |-  ( F
" RR )  =  ran  ( F  |`  RR )
23 zssre 10914 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
24 ax-resscn 9581 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
25 plyss 22890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR ) )
2623, 24, 25mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR )
2726, 16sseldi 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  RR ) )
28 plyreres 22973 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  RR )  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
2927, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  RR ) : RR --> RR )
30 frn 5722 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  RR ) : RR --> RR  ->  ran  ( F  |`  RR ) 
C_  RR )
3129, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  RR )  C_  RR )
3222, 31syl5eqss 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F " RR )  C_  RR )
33 iccssre 11662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
344, 6, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  RR )
3534, 24syl6ss 3456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  CC )
36 plyf 22889 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3716, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
38 fdm 5720 . . . . . 6  |-  ( F : CC --> CC  ->  dom 
F  =  CC )
3937, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  F  =  CC )
4035, 39sseqtr4d 3481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  C_  dom  F )
414, 6, 21, 32, 40c1lip3 22694 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) ) )
42 simp2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  RR )
4342recnd 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  CC )
441adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
45443ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  RR )
4645recnd 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  CC )
4743, 46abssubd 13435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
48 simp3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)
4947, 48eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
)
50 1red 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  1  e.  RR )
51 elicc4abs 13303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( r  -  A
) )  <_  1
) )
5245, 50, 42, 51syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <->  ( abs `  (
r  -  A ) )  <_  1 ) )
5349, 52mpbird 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  r  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
541recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5554subidd 9957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
5655fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  =  ( abs `  0 ) )
57 abs0 13269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  0 )  =  0
58 0le1 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
5957, 58eqbrtri 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  0 )  <_ 
1
6056, 59syl6eqbr 4434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 )
61 1red 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
62 elicc4abs 13303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <_  1
) )
631, 61, 1, 62syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <_  1 ) )
6460, 63mpbird 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
66653ad2ant1 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  A  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
67 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( F `  b )  =  ( F `  r ) )
6867oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )
6968fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r ) ) ) )
70 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  (
c  -  b )  =  ( c  -  r ) )
7170fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( c  -  b ) )  =  ( abs `  (
c  -  r ) ) )
7271oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  r  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  b
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( c  -  r ) ) ) )
7369, 72breq12d 4410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) ) ) )
74 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  ( F `  c )  =  ( F `  A ) )
7574oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )
7675fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( ( F `
 c )  -  ( F `  r ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r ) ) ) )
77 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  r )  =  ( A  -  r ) )
7877fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  A  ->  ( abs `  ( c  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
7978oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  A  ->  (
a  x.  ( abs `  ( c  -  r
) ) )  =  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8076, 79breq12d 4410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 r ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  r ) ) )  <->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8173, 80rspc2v 3171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  /\  A  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
8253, 66, 81syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
83 simp1l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ph )
84 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  =  0 )
86 0cn 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
8785, 86syl6eqel 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  A )  e.  CC )
8837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  F : CC
--> CC )
89883ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  F : CC
--> CC )
9089, 43ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( F `  r )  e.  CC )
9187, 90abssubd 13435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) ) ) )
9285oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( ( F `  r )  -  0 ) )
9390subid1d 9958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  0 )  =  ( F `  r
) )
9492, 93eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( F `  r )  -  ( F `  A ) )  =  ( F `  r
) )
9594fveq2d 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  r )  -  ( F `  A )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9691, 95eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( F `  r )
) )  =  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
9796breq1d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 A )  -  ( F `  r ) ) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
9882, 97sylibd 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1
)  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
99983exp 1198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r ) )  <_ 
( a  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) ) ) )
10099com34 85 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( r  e.  RR  ->  ( A. b  e.  (
( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
101100com23 80 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  (
r  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) ) )
102101ralrimdv 2822 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) A. c  e.  ( ( A  -  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ( abs `  ( ( F `  c )  -  ( F `  b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
103102reximdva 2881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) A. c  e.  ( ( A  - 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ( abs `  (
( F `  c
)  -  ( F `
 b ) ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  (
c  -  b ) ) )  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
10441, 103mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
105 1rp 11271 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
106105a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  a  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
107 recn 9614 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
108107adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  CC )
109 df-ne 2602 . . . . . . . 8  |-  ( a  =/=  0  <->  -.  a  =  0 )
110109biimpri 208 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  =  0  -> 
a  =/=  0 )
111 absrpcl 13272 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  CC  /\  a  =/=  0 )  -> 
( abs `  a
)  e.  RR+ )
112108, 110, 111syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR+ )
113112rpreccld 11316 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( 1  / 
( abs `  a
) )  e.  RR+ )
114106, 113ifclda 3919 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  e.  RR+ )
115 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )
116 eqif 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  <->  ( (
a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) ) )
117115, 116mpbi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )
118 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
119 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
122 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  RR )
123121, 122resubcld 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
124123recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
125124abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  RR )
126125recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  CC )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  CC )
128127mul02d 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
129120, 128eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  =  0 )
130118, 129breqtrd 4421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0
)
13137ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  F : CC --> CC )
132122recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  r  e.  CC )
133131, 132ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( F `  r )  e.  CC )
135134absge0d 13426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 r ) ) )
136133abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
138 0re 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
139 letri3 9703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  r )
)  =  0  <->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r )
) ) ) )
140137, 138, 139sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  r
) ) ) ) )
141130, 135, 140mpbir2and 925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  =  0 )
142141oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  0 ) )
143 ax-1cn 9582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
144143mul01i 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
145142, 144syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  0 )
146124adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
147146absge0d 13426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
148145, 147eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
149 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) ) )
150149breq1d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
151148, 150syl5ibrcom 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
152151expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
153136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  RR )
154153recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  e.  CC )
155 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  RR )
156155recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  a  e.  CC )
157156, 111sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  a )  e.  RR+ )
158157rpcnne0d 11315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0
) )
159 divrec2 10267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
1601593expb 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  r )
)  e.  CC  /\  ( ( abs `  a
)  e.  CC  /\  ( abs `  a )  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  r
) )  /  ( abs `  a ) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a
) )  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) ) )
161154, 158, 160syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
162 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  RR )
163162, 125remulcld 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  e.  RR )
164162recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  e.  CC )
165164abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  a
)  e.  RR )
166165, 125remulcld 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  e.  RR )
167 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
168124absge0d 13426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
169 leabs 13283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( abs `  a
) )
170169ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
171162, 165, 125, 168, 170lemul1ad 10527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
172136, 163, 166, 167, 171letrd 9775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( F `  r
) )  <_  (
( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
174125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  e.  RR )
175153, 174, 157ledivmuld 11355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  r )
)  /  ( abs `  a ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
)  <->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
176173, 175mpbird 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( F `  r ) )  / 
( abs `  a
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
177161, 176eqbrtrrd 4419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  a  =/=  0
)  ->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
178109, 177sylan2br 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
179 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  =  ( ( 1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
180179breq1d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  (
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  a ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
181178, 180syl5ibrcom 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  /\  -.  a  =  0 )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
182181expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  -> 
( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
183152, 182jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  1 )  \/  ( -.  a  =  0  /\  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  =  ( 1  / 
( abs `  a
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
184117, 183mpi 21 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
185184expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
186185imim2d 53 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
187186ralimdva 2814 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
188 oveq1 6287 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  =  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) ) )
189188breq1d 4407 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
190189imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  <_ 
1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
191190ralbidv 2845 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  a
) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r )
) )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
192191rspcev 3162 . . . 4  |-  ( ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( if ( a  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  a ) ) )  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
193114, 187, 192syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( abs `  ( F `
 r ) )  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
194193rexlimdva 2898 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( abs `  ( F `  r )
)  <_  ( a  x.  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  r
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
195104, 194mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  r )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  r
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3416   ifcif 3887   {cpr 3976   |^|cint 4229   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   "cima 4828    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    <_ cle 9661    - cmin 9843    / cdiv 10249   NNcn 10578   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   RR+crp 11267   [,]cicc 11587   abscabs 13218   C^nccpn 22563  Polycply 22875  degcdgr 22878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-0p 22371  df-limc 22564  df-dv 22565  df-dvn 22566  df-cpn 22567  df-ply 22879  df-coe 22881  df-dgr 22882
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