Theorem rpreccld 11758

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 11733	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   / cdiv 10563  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  rprecred  11759  resqrex  13839  rlimno1  14232  supcvg  14427  harmonic  14430  expcnv  14435  eirrlem  14771  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  met1stc  22136  met2ndci  22137  nmoi2  22344  bcthlem5  22933  ovolsca  23090  vitali  23188  ismbf3d  23227  itg2seq  23315  itg2mulclem  23319  itg2mulc  23320  aalioulem3  23893  aaliou3lem8  23904  dvradcnv  23979  tanregt0  24089  divlogrlim  24181  advlogexp  24201  logtayllem  24205  divcxp  24233  cxpcn3lem  24288  loglesqrt  24299  logbrec  24320  ang180lem2  24340  asinlem3  24398  leibpi  24469  rlimcnp2  24493  efrlim  24496  cxplim  24498  cxp2lim  24503  divsqrtsumlem  24506  amgmlem  24516  emcllem2  24523  emcllem4  24525  emcllem5  24526  emcllem6  24527  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem5  24559  lgambdd  24563  basellem3  24609  basellem6  24612  logfaclbnd  24747  bclbnd  24805  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisum0lem2a  25006  log2sumbnd  25033  logdivbnd  25045  pntlemo  25096  smcnlem  26936  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  esumdivc  29472  dya2ub  29659  omssubadd  29689  iprodgam  30881  faclimlem1  30882  faclimlem3  30884  faclim  30885  iprodfac  30886  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  heiborlem3  32782  heiborlem6  32785  heiborlem8  32787  heibor  32790  irrapxlem4  36407  irrapxlem5  36408  oddfl  38430  xralrple4  38530  xrralrecnnge  38554  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  stoweid  38956  wallispi  38963  stirlinglem1  38967  stirlinglem6  38972  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem2  38997  iinhoiicc  39565  iunhoiioo  39567  vonioolem2  39572  vonicclem1  39574  amgmlemALT  42358  young2d  42360