Theorem ang180lem2 24340

Description: Lemma for ang180 24344. Show that the revolution number 𝑁 is strictly between -2 and 1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 24120, but the resulting bound gives only 𝑁 ≤ 1 for the upper bound. The case 𝑁 = 1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments 𝐴, 1 / (1 − 𝐴), (𝐴 − 1) / 𝐴 must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if 𝐴 is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ang180lem1.2	⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
ang180lem1.3	⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))

Assertion

Ref	Expression
ang180lem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10968	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		1re 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	recni 9931	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5	1, 4	negsubdii 10245	. . . . . 6 ⊢ -(2 − (1 / 2)) = (-2 + (1 / 2))
6		4d2e2 11061	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 2) = 2
7	6	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 / 2) − (1 / 2)) = (2 − (1 / 2))
8		4cn 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cnne0 11119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
11		divsubdir 10600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 2) = ((4 / 2) − (1 / 2)))
12	8, 9, 10, 11	mp3an 1416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 − 1) / 2) = ((4 / 2) − (1 / 2))
13		3cn 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	9, 13	addcomi 10106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 3) = (3 + 1)
15		df-4 10958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (3 + 1)
16	14, 15	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 3) = 4
17	8, 9, 13, 16	subaddrii 10249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 − 1) = 3
18	17	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 − 1) / 2) = (3 / 2)
19	12, 18	eqtr3i 2634	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 / 2) − (1 / 2)) = (3 / 2)
20	7, 19	eqtr3i 2634	. . . . . . 7 ⊢ (2 − (1 / 2)) = (3 / 2)
21	20	negeqi 10153	. . . . . 6 ⊢ -(2 − (1 / 2)) = -(3 / 2)
22	5, 21	eqtr3i 2634	. . . . 5 ⊢ (-2 + (1 / 2)) = -(3 / 2)
23		3re 10971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	rehalfcli 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
25	24	recni 9931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
26		picn 24015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
27	25, 1, 26	mulassi 9928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 / 2) · 2) · π) = ((3 / 2) · (2 · π))
28		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
29	13, 1, 28	divcan1i 10648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	29	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 / 2) · 2) · π) = (3 · π)
31	27, 30	eqtr3i 2634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 / 2) · (2 · π)) = (3 · π)
32	31	negeqi 10153	. . . . . . . 8 ⊢ -((3 / 2) · (2 · π)) = -(3 · π)
33		2re 10967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		pire 24014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
35	33, 34	remulcli 9933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
36	35	recni 9931	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
37	25, 36	mulneg1i 10355	. . . . . . . 8 ⊢ (-(3 / 2) · (2 · π)) = -((3 / 2) · (2 · π))
38	13, 26	mulneg2i 10356	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · -π) = -(3 · π)
39	32, 37, 38	3eqtr4i 2642	. . . . . . 7 ⊢ (-(3 / 2) · (2 · π)) = (3 · -π)
40	34	renegcli 10221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
41	33, 40	remulcli 9933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · -π) ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · -π) ∈ ℝ)
43	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π ∈ ℝ)
44		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		subcl 10159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
46	9, 44, 45	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
47		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
48	47	necomd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
49		subeq0 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
50	9, 44, 49	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
51	50	necon3bid 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
52	48, 51	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
53	46, 52	reccld 10673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
54	46, 52	recne0d 10674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
55	53, 54	logcld 24121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
56		subcl 10159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
57	44, 9, 56	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
58		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
59	57, 44, 58	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
60		subeq0 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
61	44, 9, 60	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
62	61	necon3bid 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
63	47, 62	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
64	57, 44, 63, 58	divne0d 10696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
65	59, 64	logcld 24121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
66	55, 65	addcld 9938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
67	66	imcld 13783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℝ)
68		logcl 24119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
69	68	3adant3 1074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
70	69	imcld 13783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
71	55	imcld 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ∈ ℝ)
72	65	imcld 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℝ)
73	53, 54	logimcld 24122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π < (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ∧ (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ≤ π))
74	73	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π < (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))))
75	59, 64	logimcld 24122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π < (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ≤ π))
76	75	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π < (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))
77	43, 43, 71, 72, 74, 76	lt2addd 10529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
78		negpicn 24018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℂ
79	78	2timesi 11024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · -π) = (-π + -π)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · -π) = (-π + -π))
81	55, 65	imaddd 13803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
82	77, 80, 81	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · -π) < (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
83		logimcl 24120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
84	83	3adant3 1074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
85	84	simpld 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
86	42, 43, 67, 70, 82, 85	lt2addd 10529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((2 · -π) + -π) < ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
87		df-3 10957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
88	87	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · -π) = ((2 + 1) · -π)
89	1, 9, 78	adddiri 9930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · -π) = ((2 · -π) + (1 · -π))
90	78	mulid2i 9922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · -π) = -π
91	90	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · -π) + (1 · -π)) = ((2 · -π) + -π)
92	88, 89, 91	3eqtri 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · -π) = ((2 · -π) + -π)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · -π) = ((2 · -π) + -π))
94		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
95	94	fveq2i 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℑ‘𝑇) = (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)))
96	66, 69	imaddd 13803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
97	95, 96	syl5eq 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘𝑇) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
98	86, 93, 97	3brtr4d 4615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · -π) < (ℑ‘𝑇))
99	66, 69	addcld 9938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
100	94, 99	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ ℂ)
101		imval 13695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑇) = (ℜ‘(𝑇 / i)))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘𝑇) = (ℜ‘(𝑇 / i)))
103		ang.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
104		ang180lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
105	103, 94, 104	ang180lem1 24339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
106	105	simprd 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℝ)
107	106	rered 13812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℜ‘(𝑇 / i)) = (𝑇 / i))
108	102, 107	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘𝑇) = (𝑇 / i))
109	98, 108	breqtrd 4609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · -π) < (𝑇 / i))
110	39, 109	syl5eqbr 4618	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-(3 / 2) · (2 · π)) < (𝑇 / i))
111	24	renegcli 10221	. . . . . . . 8 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
112	111	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(3 / 2) ∈ ℝ)
113	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℝ)
114		2pos 10989	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
115		pipos 24016	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
116	33, 34, 114, 115	mulgt0ii 10049	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2 · π)
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 0 < (2 · π))
118		ltmuldiv 10775	. . . . . . 7 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → ((-(3 / 2) · (2 · π)) < (𝑇 / i) ↔ -(3 / 2) < ((𝑇 / i) / (2 · π))))
119	112, 106, 113, 117, 118	syl112anc 1322	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((-(3 / 2) · (2 · π)) < (𝑇 / i) ↔ -(3 / 2) < ((𝑇 / i) / (2 · π))))
120	110, 119	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(3 / 2) < ((𝑇 / i) / (2 · π)))
121	22, 120	syl5eqbr 4618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 + (1 / 2)) < ((𝑇 / i) / (2 · π)))
122	33	renegcli 10221	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℝ
123	122	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 ∈ ℝ)
124	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / 2) ∈ ℝ)
125	35, 116	gt0ne0ii 10443	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ≠ 0
126	125	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ≠ 0)
127	106, 113, 126	redivcld 10732	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℝ)
128	123, 124, 127	ltaddsubd 10506	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((-2 + (1 / 2)) < ((𝑇 / i) / (2 · π)) ↔ -2 < (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))))
129	121, 128	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)))
130	129, 104	syl6breqr 4625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -2 < 𝑁)
131	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → π ∈ ℝ)
132	73	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) ≤ π)
133	75	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ≤ π)
134	71, 72, 131, 131, 132, 133	le2addd 10525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((ℑ‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (π + π))
135	26	2timesi 11024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) = (π + π))
137	134, 81, 136	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (2 · π))
138	84	simprd 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
139	67, 70, 113, 131, 137, 138	le2addd 10525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((2 · π) + π))
140	108, 97	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) = ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴))))
141	87	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · π) = ((2 + 1) · π)
142	1, 9, 26	adddiri 9930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · π) = ((2 · π) + (1 · π))
143	26	mulid2i 9922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
144	143	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · π) + (1 · π)) = ((2 · π) + π)
145	141, 142, 144	3eqtri 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · π) = ((2 · π) + π)
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · π) = ((2 · π) + π))
147	139, 140, 146	3brtr4d 4615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ≤ (3 · π))
148	36	subid1i 10232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) − 0) = (2 · π)
149	148, 125	eqnetri 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − 0) ≠ 0
150		negsub 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
151	9, 44, 150	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
153		1rp 11712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ+
154	146, 140	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = (((2 · π) + π) − ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴)))))
155	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℂ)
156	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → π ∈ ℂ)
157	67	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℂ)
158	70	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
159	155, 156, 157, 158	addsub4d 10318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((2 · π) + π) − ((ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) + (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
160	154, 159	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
161	160	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
162	23, 34	remulcli 9933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (3 · π) ∈ ℝ
163	162	recni 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 · π) ∈ ℂ
164		ax-icn 9874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ i ∈ ℂ
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ∈ ℂ)
166		ine0 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ i ≠ 0
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ≠ 0)
168	100, 165, 167	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
169		subeq0 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((3 · π) ∈ ℂ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℂ) → (((3 · π) − (𝑇 / i)) = 0 ↔ (3 · π) = (𝑇 / i)))
170	163, 168, 169	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((3 · π) − (𝑇 / i)) = 0 ↔ (3 · π) = (𝑇 / i)))
171	170	biimpar 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((3 · π) − (𝑇 / i)) = 0)
172	161, 171	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0)
173		resubcl 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℝ) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ∈ ℝ)
174	35, 67, 173	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ∈ ℝ)
175		subge0 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ↔ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (2 · π)))
176	35, 67, 175	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ↔ (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) ≤ (2 · π)))
177	137, 176	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))))
178		resubcl 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
179	34, 70, 178	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
180		subge0 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
181	34, 70, 180	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
182	138, 181	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))))
183		add20 10419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))) ∧ ((π − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))))) → ((((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0 ↔ (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0)))
184	174, 177, 179, 182, 183	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0 ↔ (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0)))
185	184	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) + (π − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = 0) → (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0))
186	172, 185	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0 ∧ (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0))
187	186	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0)
188	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
189		subeq0 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0 ↔ π = (ℑ‘(log‘𝐴))))
190	26, 188, 189	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((π − (ℑ‘(log‘𝐴))) = 0 ↔ π = (ℑ‘(log‘𝐴))))
191	187, 190	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → π = (ℑ‘(log‘𝐴)))
192	191	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π)
193		lognegb 24140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
194	193	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
195	194	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
196	192, 195	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
197		rpaddcl 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (1 + -𝐴) ∈ ℝ+)
198	153, 196, 197	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 + -𝐴) ∈ ℝ+)
199	152, 198	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
200	199	rpreccld 11758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
201	200	relogcld 24173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℝ)
202		negsubdi2 10219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
203	44, 9, 202	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
204	203	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-(𝐴 − 1) / -𝐴) = ((1 − 𝐴) / -𝐴))
205	57, 44, 58	div2negd 10695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-(𝐴 − 1) / -𝐴) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
206	204, 205	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) / -𝐴) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
207	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((1 − 𝐴) / -𝐴) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
208	199, 196	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((1 − 𝐴) / -𝐴) ∈ ℝ+)
209	207, 208	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
210	209	relogcld 24173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℝ)
211	201, 210	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℝ)
212	211	reim0d 13813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = 0)
213	212	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = ((2 · π) − 0))
214	186	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((2 · π) − (ℑ‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))))) = 0)
215	213, 214	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) ∧ (3 · π) = (𝑇 / i)) → ((2 · π) − 0) = 0)
216	215	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((3 · π) = (𝑇 / i) → ((2 · π) − 0) = 0))
217	216	necon3d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((2 · π) − 0) ≠ 0 → (3 · π) ≠ (𝑇 / i)))
218	149, 217	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 · π) ≠ (𝑇 / i))
219		ltlen 10017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 / i) ∈ ℝ ∧ (3 · π) ∈ ℝ) → ((𝑇 / i) < (3 · π) ↔ ((𝑇 / i) ≤ (3 · π) ∧ (3 · π) ≠ (𝑇 / i))))
220	106, 162, 219	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) < (3 · π) ↔ ((𝑇 / i) ≤ (3 · π) ∧ (3 · π) ≠ (𝑇 / i))))
221	147, 218, 220	mpbir2and 959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) < (3 · π))
222	221, 31	syl6breqr 4625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) < ((3 / 2) · (2 · π)))
223	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (3 / 2) ∈ ℝ)
224		ltdivmul2 10779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 / i) ∈ ℝ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) < (3 / 2) ↔ (𝑇 / i) < ((3 / 2) · (2 · π))))
225	106, 223, 113, 117, 224	syl112anc 1322	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) < (3 / 2) ↔ (𝑇 / i) < ((3 / 2) · (2 · π))))
226	222, 225	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) < (3 / 2))
227	87	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) = ((2 + 1) / 2)
228	1, 9, 1, 28	divdiri 10661	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 2) = ((2 / 2) + (1 / 2))
229		2div2e1 11027	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
230	229	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ ((2 / 2) + (1 / 2)) = (1 + (1 / 2))
231	227, 228, 230	3eqtri 2636	. . . . 5 ⊢ (3 / 2) = (1 + (1 / 2))
232	226, 231	syl6breq 4624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) < (1 + (1 / 2)))
233	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
234	127, 124, 233	ltsubaddd 10502	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) < 1 ↔ ((𝑇 / i) / (2 · π)) < (1 + (1 / 2))))
235	232, 234	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) < 1)
236	104, 235	syl5eqbr 4618	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 < 1)
237	130, 236	jca 553	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ℜcre 13685  ℑcim 13686  πcpi 14636  logclog 24105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107

This theorem is referenced by:  ang180lem3  24341