MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomi 10106
Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addcomi (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)

Proof of Theorem addcomi
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 addcom 10101 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
41, 2, 3mp2an 704 1 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813   + caddc 9818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  addcomli  10107  fztpval  12272  fzo0to42pr  12422  fzo1to4tp  12423  0.999...OLD  14452  ef01bndlem  14753  modxai  15610  pcoass  22632  iblitg  23341  tangtx  24061  eff1o  24099  ang180lem2  24340  log2ublem2  24474  basellem9  24615  ppiub  24729  bposlem8  24816  lgsdir2lem1  24850  lgsdir2lem2  24851  lgsdir2lem3  24852  lgsdir2lem5  24854  ax5seglem7  25615  ex-exp  26699  ipasslem10  27078  normlem2  27352  normlem3  27353  norm-ii-i  27378  normpar2i  27397  problem3  30815  problem5  30817  quad3  30818  mblfinlem3  32618  fdc  32711  stoweidlem13  38906  fourierdlem24  39024  3exp4mod41  40071  comraddi  42321
  Copyright terms: Public domain W3C validator