MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ang180lem2 22209
Description: Lemma for ang180 22213. Show that the revolution number  N is strictly between  -u 2 and  1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 22024, but the resulting bound gives only  N  <_ 
1 for the upper bound. The case  N  =  1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments  A ,  1  /  ( 1  -  A ) ,  ( A  -  1 )  /  A must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if  A is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
ang180lem1.2  |-  T  =  ( ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) )  +  ( log `  A ) )
ang180lem1.3  |-  N  =  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ang180lem2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  <  N  /\  N  <  1 ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 10395 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
2 1re 9388 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
32rehalfcli 10576 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43recni 9401 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
51, 4negsubdii 9696 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( -u 2  +  ( 1  / 
2 ) )
6 4d2e2 10481 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  2 )  =  2
76oveq1i 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 2  -  (
1  /  2 ) )
8 4cn 10402 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
9 ax-1cn 9343 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
10 2cnne0 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
11 divsubdir 10030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
2 )  =  ( ( 4  /  2
)  -  ( 1  /  2 ) ) )
128, 9, 10, 11mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 4  / 
2 )  -  (
1  /  2 ) )
13 3cn 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
149, 13addcomi 9563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
15 df-4 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1614, 15eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  3 )  =  4
178, 9, 13, 16subaddrii 9700 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  -  1 )  =  3
1817oveq1i 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  /  2 )  =  ( 3  /  2
)
1912, 18eqtr3i 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 3  /  2
)
207, 19eqtr3i 2465 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 3  /  2
)
2120negeqi 9606 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 3  / 
2 )
225, 21eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 3  / 
2 )
23 3re 10398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
2423rehalfcli 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
2524recni 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
26 picn 21925 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
2725, 1, 26mulassi 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 3  /  2
)  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )
28 2ne0 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2913, 1, 28divcan1i 10078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  2 )  =  3
3029oveq1i 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 3  /  2
)  x.  2 )  x.  pi )  =  ( 3  x.  pi )
3127, 30eqtr3i 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 3  x.  pi )
3231negeqi 9606 . . . . . . . 8  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( 3  x.  pi )
33 2re 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
34 pire 21924 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
3533, 34remulcli 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3635recni 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3725, 36mulneg1i 9793 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )
3813, 26mulneg2i 9794 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  -u pi )  = 
-u ( 3  x.  pi )
3932, 37, 383eqtr4i 2473 . . . . . . 7  |-  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 3  x.  -u pi )
4034renegcli 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
4133, 40remulcli 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  -u pi )  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  e.  RR )
4340a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  e.  RR )
44 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  e.  CC )
45 subcl 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
469, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
47 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  =/=  1 )
4847necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  1  =/=  A )
49 subeq0 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
509, 44, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  <->  1  =  A ) )
5150necon3bid 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  -  A )  =/=  0 )
5346, 52reccld 10103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  ( 1  -  A ) )  e.  CC )
5446, 52recne0d 10104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  ( 1  -  A ) )  =/=  0 )
5553, 54logcld 22025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  e.  CC )
56 subcl 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5744, 9, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
58 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  =/=  0 )
5957, 44, 58divcld 10110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  /  A )  e.  CC )
60 subeq0 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  =  0  <-> 
A  =  1 ) )
6144, 9, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  =  0  <->  A  =  1 ) )
6261necon3bid 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  =/=  0  <->  A  =/=  1 ) )
6347, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( A  -  1 )  =/=  0 )
6457, 44, 63, 58divne0d 10126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  /  A )  =/=  0 )
6559, 64logcld 22025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) )  e.  CC )
6655, 65addcld 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  e.  CC )
6766imcld 12687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )
68 logcl 22023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
69683adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7069imcld 12687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
7155imcld 12687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  e.  RR )
7265imcld 12687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  e.  RR )
7353, 54logimcld 22026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  <_  pi ) )
7473simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )
7559, 64logimcld 22026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  <_  pi ) )
7675simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )
7743, 43, 71, 72, 74, 76lt2addd 9964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )
78 negpicn 21927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  CC
79782timesi 10445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  -u pi )  =  ( -u pi  +  -u pi )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  =  ( -u pi  +  -u pi ) )
8155, 65imaddd 12707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )
8277, 80, 813brtr4d 4325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  <  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )
83 logimcl 22024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
84833adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
8584simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8642, 43, 67, 70, 82, 85lt2addd 9964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 2  x.  -u pi )  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
87 df-3 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
8887oveq1i 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  -u pi )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  -u pi )
891, 9, 78adddiri 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  -u pi )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  +  ( 1  x.  -u pi ) )
9078mulid2i 9392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  -u pi )  = 
-u pi
9190oveq2i 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  -u pi )  +  ( 1  x.  -u pi ) )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  + 
-u pi )
9288, 89, 913eqtri 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  -u pi )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  +  -u pi )
9392a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  =  ( (
2  x.  -u pi )  +  -u pi ) )
94 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) )  +  ( log `  A ) )
9594fveq2i 5697 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im
`  T )  =  ( Im `  (
( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) ) )
9666, 69imaddd 12707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9795, 96syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( ( Im
`  ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9886, 93, 973brtr4d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  <  ( Im `  T ) )
9966, 69addcld 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) )  e.  CC )
10094, 99syl5eqel 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  T  e.  CC )
101 imval 12599 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
Im `  T )  =  ( Re `  ( T  /  _i ) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( Re `  ( T  /  _i ) ) )
103 ang.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
104 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )
105103, 94, 104ang180lem1 22208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( T  /  _i )  e.  RR ) )
106105simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  e.  RR )
107106rered 12716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Re `  ( T  /  _i ) )  =  ( T  /  _i ) )
108102, 107eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( T  /  _i ) )
10998, 108breqtrd 4319 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  <  ( T  /  _i ) )
11039, 109syl5eqbr 4328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  <  ( T  /  _i ) )
11124renegcli 9673 . . . . . . . 8  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u (
3  /  2 )  e.  RR )
11335a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
114 2pos 10416 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
115 pipos 21926 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
11633, 34, 114, 115mulgt0ii 9510 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <  ( 2  x.  pi ) )
118 ltmuldiv 10205 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  RR  /\  ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( -u (
3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  < 
( T  /  _i ) 
<-> 
-u ( 3  / 
2 )  <  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
119112, 106, 113, 117, 118syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( -u ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( T  /  _i )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) ) ) )
120110, 119mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u (
3  /  2 )  <  ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
12122, 120syl5eqbr 4328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
12233renegcli 9673 . . . . . 6  |-  -u 2  e.  RR
123122a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  e.  RR )
1243a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
12535, 116gt0ne0ii 9879 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
126125a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
127106, 113, 126redivcld 10162 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
128123, 124, 127ltaddsubd 9942 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( -u 2  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  <->  -u 2  < 
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
129121, 128mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  <  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) ) )
130129, 104syl6breqr 4335 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  <  N )
13134a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  pi  e.  RR )
13273simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  <_  pi )
13375simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  <_  pi )
13471, 72, 131, 131, 132, 133le2addd 9960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  <_  (
pi  +  pi ) )
135262timesi 10445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi ) )
137134, 81, 1363brtr4d 4325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  pi ) )
13884simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
13967, 70, 113, 131, 137, 138le2addd 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
( 2  x.  pi )  +  pi )
)
140108, 97eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  =  ( ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14187oveq1i 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  pi )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  pi )
1421, 9, 26adddiri 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )
14326mulid2i 9392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
144143oveq2i 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi )
145141, 142, 1443eqtri 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi )
146145a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi ) )
147139, 140, 1463brtr4d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi ) )
14836subid1i 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =  ( 2  x.  pi )
149148, 125eqnetri 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =/=  0
150 negsub 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A ) )
1519, 44, 150sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  +  -u A
)  =  ( 1  -  A ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A
) )
153 1rp 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR+
154146, 140oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  +  pi )  -  (
( Im `  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
15536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
15626a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  pi  e.  CC )
15767recnd 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  CC )
15870recnd 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
159155, 156, 157, 158addsub4d 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  +  pi )  -  ( (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
160154, 159eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
161160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
16223, 34remulcli 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 3  x.  pi )  e.  RR
163162recni 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  x.  pi )  e.  CC
164 ax-icn 9344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  _i  e.  CC
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  _i  e.  CC )
166 ine0 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  _i  =/=  0
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  _i  =/=  0 )
168100, 165, 167divcld 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  e.  CC )
169 subeq0 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 3  x.  pi )  e.  CC  /\  ( T  /  _i )  e.  CC )  ->  (
( ( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0  <->  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) ) )
170163, 168, 169sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0  <->  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) ) )
171170biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0 )
172161, 171eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  +  ( pi 
-  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0 )
173 resubcl 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  e.  RR )
17435, 67, 173sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  e.  RR )
175 subge0 9855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  <->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
17635, 67, 175sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  <->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
177137, 176mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) ) )
178 resubcl 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
17934, 70, 178sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
180 subge0 9855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
)
18134, 70, 180sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
0  <_  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
)
182138, 181mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <_  ( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
183 add20 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) ) )  /\  ( ( pi  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0  <->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) ) )
184174, 177, 179, 182, 183syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0  <->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) ) )
185184biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  +  ( pi 
-  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) )
186172, 185syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  0  /\  ( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  0 ) )
187186simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  0 )
188158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  CC )
189 subeq0 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  0  <->  pi  =  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
19026, 188, 189sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0  <->  pi  =  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
191187, 190mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  pi  =  ( Im `  ( log `  A ) ) )
192191eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  pi )
193 lognegb 22041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
1941933adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  pi ) )
195194adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
196192, 195mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  -u A  e.  RR+ )
197 rpaddcl 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  -u A  e.  RR+ )  ->  (
1  +  -u A
)  e.  RR+ )
198153, 196, 197sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  +  -u A )  e.  RR+ )
199152, 198eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  -  A )  e.  RR+ )
200199rpreccld 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  /  ( 1  -  A ) )  e.  RR+ )
201200relogcld 22075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  e.  RR )
202 negsubdi2 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
20344, 9, 202sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
204203oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( A  -  1 )  /  -u A
)  =  ( ( 1  -  A )  /  -u A ) )
20557, 44, 58div2negd 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( A  -  1 )  /  -u A
)  =  ( ( A  -  1 )  /  A ) )
206204, 205eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  /  -u A
)  =  ( ( A  -  1 )  /  A ) )
207206adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
1  -  A )  /  -u A )  =  ( ( A  - 
1 )  /  A
) )
208199, 196rpdivcld 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
1  -  A )  /  -u A )  e.  RR+ )
209207, 208eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( ( A  -  1 )  /  A )  e.  RR+ )
210209relogcld 22075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) )  e.  RR )
211201, 210readdcld 9416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) )  e.  RR )
212211reim0d 12717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  =  0 )
213212oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  -  0 ) )
214186simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  0 )
215213, 214eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  0 )  =  0 )
216215ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  0 )  =  0 ) )
217216necon3d 2649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =/=  0  -> 
( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) )
218149, 217mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) )
219 ltlen 9479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
3  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( T  /  _i )  <  ( 3  x.  pi )  <->  ( ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi )  /\  ( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) ) )
220106, 162, 219sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  <  ( 3  x.  pi )  <->  ( ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi )  /\  ( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) ) )
221147, 218, 220mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  < 
( 3  x.  pi ) )
222221, 31syl6breqr 4335 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  < 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
22324a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  /  2 )  e.  RR )
224 ltdivmul2 10210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
3  /  2 )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
3  /  2 )  <-> 
( T  /  _i )  <  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
225106, 223, 113, 117, 224syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( 3  /  2 )  <->  ( T  /  _i )  <  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
226222, 225mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 3  /  2
) )
22787oveq1i 6104 . . . . . 6  |-  ( 3  /  2 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  2
)
2281, 9, 1, 28divdiri 10091 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )
229 2div2e1 10447 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
230229oveq1i 6104 . . . . . 6  |-  ( ( 2  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  2 ) )
231227, 228, 2303eqtri 2467 . . . . 5  |-  ( 3  /  2 )  =  ( 1  +  ( 1  /  2 ) )
232226, 231syl6breq 4334 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 1  +  ( 1  /  2 ) ) )
2332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  1  e.  RR )
234127, 124, 233ltsubaddd 9938 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )  <  1  <->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 1  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
235232, 234mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) )  -  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
236104, 235syl5eqbr 4328 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  N  <  1 )
237130, 236jca 532 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  <  N  /\  N  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609    \ cdif 3328   {csn 3880   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    e. cmpt2 6096   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   _ici 9287    + caddc 9288    x. cmul 9290    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598   -ucneg 9599    / cdiv 9996   2c2 10374   3c3 10375   4c4 10376   ZZcz 10649   RR+crp 10994   Recre 12589   Imcim 12590   picpi 13355   logclog 22009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011
This theorem is referenced by:  ang180lem3  22210
  Copyright terms: Public domain W3C validator