Theorem ang180lem2 23739

Description: Lemma for ang180 23743. Show that the revolution number N is strictly between -u 2 and 1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 23519, but the resulting bound gives only N <_ 1 for the upper bound. The case N = 1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments A , 1 / ( 1 - A ) , ( A - 1 ) / A must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if A is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	|- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
ang180lem1.2	|- T = ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) )
ang180lem1.3	|- N = ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
ang180lem2	|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 < N /\ N < 1 ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   T( x, y)   F( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem ang180lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10680	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
2		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3	2	rehalfcli 10861	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	recni 9655	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
5	1, 4	negsubdii 9960	. . . . . 6 |- -u ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = ( -u 2 + ( 1 / 2 ) )
6		4d2e2 10766	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
7	6	oveq1i 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 2 - ( 1 / 2 ) )
8		4cn 10687	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
9		ax-1cn 9597	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
10		2cnne0 10824	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
11		divsubdir 10303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an 1364	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) )
13		3cn 10684	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
14	9, 13	addcomi 9824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 + 3 ) = ( 3 + 1 )
15		df-4 10670	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 = ( 3 + 1 )
16	14, 15	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 3 ) = 4
17	8, 9, 13, 16	subaddrii 9964	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 - 1 ) = 3
18	17	oveq1i 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
19	12, 18	eqtr3i 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 3 / 2 )
20	7, 19	eqtr3i 2475	. . . . . . 7 |- ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = ( 3 / 2 )
21	20	negeqi 9868	. . . . . 6 |- -u ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = -u ( 3 / 2 )
22	5, 21	eqtr3i 2475	. . . . 5 |- ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) = -u ( 3 / 2 )
23		3re 10683	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
24	23	rehalfcli 10861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 / 2 ) e. RR
25	24	recni 9655	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
26		picn 23414	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
27	25, 1, 26	mulassi 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) )
28		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
29	13, 1, 28	divcan1i 10351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) = 3
30	29	oveq1i 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( 3 x. pi )
31	27, 30	eqtr3i 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 3 x. pi )
32	31	negeqi 9868	. . . . . . . 8 |- -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 3 x. pi )
33		2re 10679	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
34		pire 23413	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
35	33, 34	remulcli 9657	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. RR
36	35	recni 9655	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. CC
37	25, 36	mulneg1i 10064	. . . . . . . 8 |- ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) )
38	13, 26	mulneg2i 10065	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. -u pi ) = -u ( 3 x. pi )
39	32, 37, 38	3eqtr4i 2483	. . . . . . 7 |- ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 3 x. -u pi )
40	34	renegcli 9935	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
41	33, 40	remulcli 9657	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. -u pi ) e. RR
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) e. RR )
43	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi e. RR )
44		simp1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A e. CC )
45		subcl 9874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 - A ) e. CC )
46	9, 44, 45	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 - A ) e. CC )
47		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A =/= 1 )
48	47	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 1 =/= A )
49		subeq0 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - A ) = 0 <-> 1 = A ) )
50	9, 44, 49	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) = 0 <-> 1 = A ) )
51	50	necon3bid 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) =/= 0 <-> 1 =/= A ) )
52	48, 51	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 - A ) =/= 0 )
53	46, 52	reccld 10376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) e. CC )
54	46, 52	recne0d 10377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) =/= 0 )
55	53, 54	logcld 23520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) e. CC )
56		subcl 9874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A - 1 ) e. CC )
57	44, 9, 56	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( A - 1 ) e. CC )
58		simp2 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A =/= 0 )
59	57, 44, 58	divcld 10383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) / A ) e. CC )
60		subeq0 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A - 1 ) = 0 <-> A = 1 ) )
61	44, 9, 60	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) = 0 <-> A = 1 ) )
62	61	necon3bid 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) =/= 0 <-> A =/= 1 ) )
63	47, 62	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( A - 1 ) =/= 0 )
64	57, 44, 63, 58	divne0d 10399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) / A ) =/= 0 )
65	59, 64	logcld 23520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) e. CC )
66	55, 65	addcld 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. CC )
67	66	imcld 13258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR )
68		logcl 23518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
69	68	3adant3 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` A ) e. CC )
70	69	imcld 13258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
71	55	imcld 13258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) e. RR )
72	65	imcld 13258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. RR )
73	53, 54	logimcld 23521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) <_ pi ) )
74	73	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) )
75	59, 64	logimcld 23521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) <_ pi ) )
76	75	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) )
77	43, 43, 71, 72, 74, 76	lt2addd 10236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi + -u pi ) < ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
78		negpicn 23417	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. CC
79	78	2timesi 10730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. -u pi ) = ( -u pi + -u pi )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) = ( -u pi + -u pi ) )
81	55, 65	imaddd 13278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
82	77, 80, 81	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) < ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
83		logimcl 23519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
84	83	3adant3 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
85	84	simpld 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
86	42, 43, 67, 70, 82, 85	lt2addd 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi ) < ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
87		df-3 10669	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
88	87	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 + 1 ) x. -u pi )
89	1, 9, 78	adddiri 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 + 1 ) x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + ( 1 x. -u pi ) )
90	78	mulid2i 9646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. -u pi ) = -u pi
91	90	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. -u pi ) + ( 1 x. -u pi ) ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi )
92	88, 89, 91	3eqtri 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi ) )
94		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) )
95	94	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( Im ` T ) = ( Im ` ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) )
96	66, 69	imaddd 13278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
97	95, 96	syl5eq 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
98	86, 93, 97	3brtr4d 4433	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) < ( Im ` T ) )
99	66, 69	addcld 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) e. CC )
100	94, 99	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> T e. CC )
101		imval 13170	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. CC -> ( Im ` T ) = ( Re ` ( T / _i ) ) )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( Re ` ( T / _i ) ) )
103		ang.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
104		ang180lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) )
105	103, 94, 104	ang180lem1 23738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( N e. ZZ /\ ( T / _i ) e. RR ) )
106	105	simprd 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) e. RR )
107	106	rered 13287	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Re ` ( T / _i ) ) = ( T / _i ) )
108	102, 107	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( T / _i ) )
109	98, 108	breqtrd 4427	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) < ( T / _i ) )
110	39, 109	syl5eqbr 4436	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) )
111	24	renegcli 9935	. . . . . . . 8 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
112	111	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( 3 / 2 ) e. RR )
113	35	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
114		2pos 10701	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
115		pipos 23415	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
116	33, 34, 114, 115	mulgt0ii 9768	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 2 x. pi )
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 < ( 2 x. pi ) )
118		ltmuldiv 10478	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. RR /\ ( T / _i ) e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
119	112, 106, 113, 117, 118	syl112anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
120	110, 119	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) )
121	22, 120	syl5eqbr 4436	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) )
122	33	renegcli 9935	. . . . . 6 |- -u 2 e. RR
123	122	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 e. RR )
124	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
125	35, 116	gt0ne0ii 10150	. . . . . . 7 |- ( 2 x. pi ) =/= 0
126	125	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
127	106, 113, 126	redivcld 10435	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
128	123, 124, 127	ltaddsubd 10213	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) <-> -u 2 < ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
129	121, 128	mpbid 214	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 < ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) )
130	129, 104	syl6breqr 4443	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 < N )
131	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> pi e. RR )
132	73	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) <_ pi )
133	75	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) <_ pi )
134	71, 72, 131, 131, 132, 133	le2addd 10232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( pi + pi ) )
135	26	2timesi 10730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) = ( pi + pi ) )
137	134, 81, 136	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) )
138	84	simprd 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
139	67, 70, 113, 131, 137, 138	le2addd 10232	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( 2 x. pi ) + pi ) )
140	108, 97	eqtr3d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
141	87	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. pi ) = ( ( 2 + 1 ) x. pi )
142	1, 9, 26	adddiri 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + ( 1 x. pi ) )
143	26	mulid2i 9646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. pi ) = pi
144	143	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) + pi )
145	141, 142, 144	3eqtri 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + pi )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + pi ) )
147	139, 140, 146	3brtr4d 4433	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) )
148	36	subid1i 9946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = ( 2 x. pi )
149	148, 125	eqnetri 2694	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - 0 ) =/= 0
150		negsub 9922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
151	9, 44, 150	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
152	151	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
153		1rp 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR+
154	146, 140	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) + pi ) - ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
155	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
156	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> pi e. CC )
157	67	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. CC )
158	70	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
159	155, 156, 157, 158	addsub4d 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) + pi ) - ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
160	154, 159	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
161	160	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
162	23, 34	remulcli 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 3 x. pi ) e. RR
163	162	recni 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 3 x. pi ) e. CC
164		ax-icn 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- _i e. CC
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> _i e. CC )
166		ine0 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- _i =/= 0
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> _i =/= 0 )
168	100, 165, 167	divcld 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) e. CC )
169		subeq0 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 3 x. pi ) e. CC /\ ( T / _i ) e. CC ) -> ( ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 <-> ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) )
170	163, 168, 169	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 <-> ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) )
171	170	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 )
172	161, 171	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 )
173		resubcl 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR )
174	35, 67, 173	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR )
175		subge0 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) <-> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) ) )
176	35, 67, 175	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) <-> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) ) )
177	137, 176	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) )
178		resubcl 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
179	34, 70, 178	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
180		subge0 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
181	34, 70, 180	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
182	138, 181	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
183		add20 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) ) /\ ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) ) )
184	174, 177, 179, 182, 183	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) ) )
185	184	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) )
186	172, 185	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) )
187	186	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 )
188	158	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
189		subeq0 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( pi e. CC /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC ) -> ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 <-> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
190	26, 188, 189	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 <-> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
191	187, 190	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) )
192	191	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi )
193		lognegb 23539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
194	193	3adant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
195	194	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
196	192, 195	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> -u A e. RR+ )
197		rpaddcl 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR+ /\ -u A e. RR+ ) -> ( 1 + -u A ) e. RR+ )
198	153, 196, 197	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 + -u A ) e. RR+ )
199	152, 198	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 - A ) e. RR+ )
200	199	rpreccld 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) e. RR+ )
201	200	relogcld 23572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) e. RR )
202		negsubdi2 9933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( A - 1 ) = ( 1 - A ) )
203	44, 9, 202	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( A - 1 ) = ( 1 - A ) )
204	203	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( A - 1 ) / -u A ) = ( ( 1 - A ) / -u A ) )
205	57, 44, 58	div2negd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( A - 1 ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
206	204, 205	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
207	206	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
208	199, 196	rpdivcld 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) e. RR+ )
209	207, 208	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( A - 1 ) / A ) e. RR+ )
210	209	relogcld 23572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) e. RR )
211	201, 210	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. RR )
212	211	reim0d 13288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) = 0 )
213	212	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) - 0 ) )
214	186	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 )
215	213, 214	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = 0 )
216	215	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) -> ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = 0 ) )
217	216	necon3d 2645	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - 0 ) =/= 0 -> ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) )
218	149, 217	mpi 20	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) )
219		ltlen 9735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T / _i ) e. RR /\ ( 3 x. pi ) e. RR ) -> ( ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) <-> ( ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) /\ ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) ) )
220	106, 162, 219	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) <-> ( ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) /\ ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) ) )
221	147, 218, 220	mpbir2and 933	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) )
222	221, 31	syl6breqr 4443	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
223	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 / 2 ) e. RR )
224		ltdivmul2 10482	. . . . . . 7 |- ( ( ( T / _i ) e. RR /\ ( 3 / 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) <-> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
225	106, 223, 113, 117, 224	syl112anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) <-> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
226	222, 225	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) )
227	87	oveq1i 6300	. . . . . 6 |- ( 3 / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 )
228	1, 9, 1, 28	divdiri 10364	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 / 2 ) + ( 1 / 2 ) )
229		2div2e1 10732	. . . . . . 7 |- ( 2 / 2 ) = 1
230	229	oveq1i 6300	. . . . . 6 |- ( ( 2 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 + ( 1 / 2 ) )
231	227, 228, 230	3eqtri 2477	. . . . 5 |- ( 3 / 2 ) = ( 1 + ( 1 / 2 ) )
232	226, 231	syl6breq 4442	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 1 + ( 1 / 2 ) ) )
233	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 1 e. RR )
234	127, 124, 233	ltsubaddd 10209	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) < 1 <-> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 1 + ( 1 / 2 ) ) ) )
235	232, 234	mpbird 236	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) < 1 )
236	104, 235	syl5eqbr 4436	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> N < 1 )
237	130, 236	jca 535	1 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 < N /\ N < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   ZZcz 10937   RR+crp 11302   Recre 13160   Imcim 13161   picpi 14119   logclog 23504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506

This theorem is referenced by:  ang180lem3  23740