Theorem ang180lem2 22175

Description: Lemma for ang180 22179. Show that the revolution number N is strictly between -u 2 and 1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 21990, but the resulting bound gives only N <_ 1 for the upper bound. The case N = 1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments A , 1 / ( 1 - A ) , ( A - 1 ) / A must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if A is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	|- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
ang180lem1.2	|- T = ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) )
ang180lem1.3	|- N = ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
ang180lem2	|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 < N /\ N < 1 ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   T( x, y)   F( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem ang180lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10384	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
2		1re 9377	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3	2	rehalfcli 10565	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	recni 9390	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
5	1, 4	negsubdii 9685	. . . . . 6 |- -u ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = ( -u 2 + ( 1 / 2 ) )
6		4d2e2 10470	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
7	6	oveq1i 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 2 - ( 1 / 2 ) )
8		4cn 10391	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
9		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
10		2cnne0 10528	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
11		divsubdir 10019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an 1314	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) )
13		3cn 10388	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
14	9, 13	addcomi 9552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 + 3 ) = ( 3 + 1 )
15		df-4 10374	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 = ( 3 + 1 )
16	14, 15	eqtr4i 2460	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 3 ) = 4
17	8, 9, 13, 16	subaddrii 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 - 1 ) = 3
18	17	oveq1i 6096	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
19	12, 18	eqtr3i 2459	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 3 / 2 )
20	7, 19	eqtr3i 2459	. . . . . . 7 |- ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = ( 3 / 2 )
21	20	negeqi 9595	. . . . . 6 |- -u ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = -u ( 3 / 2 )
22	5, 21	eqtr3i 2459	. . . . 5 |- ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) = -u ( 3 / 2 )
23		3re 10387	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
24	23	rehalfcli 10565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 / 2 ) e. RR
25	24	recni 9390	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
26		picn 21891	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
27	25, 1, 26	mulassi 9387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) )
28		2ne0 10406	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
29	13, 1, 28	divcan1i 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) = 3
30	29	oveq1i 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( 3 x. pi )
31	27, 30	eqtr3i 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 3 x. pi )
32	31	negeqi 9595	. . . . . . . 8 |- -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 3 x. pi )
33		2re 10383	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
34		pire 21890	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
35	33, 34	remulcli 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. RR
36	35	recni 9390	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. CC
37	25, 36	mulneg1i 9782	. . . . . . . 8 |- ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) )
38	13, 26	mulneg2i 9783	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. -u pi ) = -u ( 3 x. pi )
39	32, 37, 38	3eqtr4i 2467	. . . . . . 7 |- ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 3 x. -u pi )
40	34	renegcli 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
41	33, 40	remulcli 9392	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. -u pi ) e. RR
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) e. RR )
43	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi e. RR )
44		simp1 988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A e. CC )
45		subcl 9601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 - A ) e. CC )
46	9, 44, 45	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 - A ) e. CC )
47		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A =/= 1 )
48	47	necomd 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 1 =/= A )
49		subeq0 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - A ) = 0 <-> 1 = A ) )
50	9, 44, 49	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) = 0 <-> 1 = A ) )
51	50	necon3bid 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) =/= 0 <-> 1 =/= A ) )
52	48, 51	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 - A ) =/= 0 )
53	46, 52	reccld 10092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) e. CC )
54	46, 52	recne0d 10093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) =/= 0 )
55	53, 54	logcld 21991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) e. CC )
56		subcl 9601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A - 1 ) e. CC )
57	44, 9, 56	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( A - 1 ) e. CC )
58		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A =/= 0 )
59	57, 44, 58	divcld 10099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) / A ) e. CC )
60		subeq0 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A - 1 ) = 0 <-> A = 1 ) )
61	44, 9, 60	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) = 0 <-> A = 1 ) )
62	61	necon3bid 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) =/= 0 <-> A =/= 1 ) )
63	47, 62	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( A - 1 ) =/= 0 )
64	57, 44, 63, 58	divne0d 10115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) / A ) =/= 0 )
65	59, 64	logcld 21991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) e. CC )
66	55, 65	addcld 9397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. CC )
67	66	imcld 12676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR )
68		logcl 21989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
69	68	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` A ) e. CC )
70	69	imcld 12676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
71	55	imcld 12676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) e. RR )
72	65	imcld 12676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. RR )
73	53, 54	logimcld 21992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) <_ pi ) )
74	73	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) )
75	59, 64	logimcld 21992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) <_ pi ) )
76	75	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) )
77	43, 43, 71, 72, 74, 76	lt2addd 9953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi + -u pi ) < ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
78		negpicn 21893	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. CC
79	78	2timesi 10434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. -u pi ) = ( -u pi + -u pi )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) = ( -u pi + -u pi ) )
81	55, 65	imaddd 12696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
82	77, 80, 81	3brtr4d 4315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) < ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
83		logimcl 21990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
84	83	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
85	84	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
86	42, 43, 67, 70, 82, 85	lt2addd 9953	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi ) < ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
87		df-3 10373	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
88	87	oveq1i 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 + 1 ) x. -u pi )
89	1, 9, 78	adddiri 9389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 + 1 ) x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + ( 1 x. -u pi ) )
90	78	mulid2i 9381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. -u pi ) = -u pi
91	90	oveq2i 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. -u pi ) + ( 1 x. -u pi ) ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi )
92	88, 89, 91	3eqtri 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi ) )
94		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) )
95	94	fveq2i 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( Im ` T ) = ( Im ` ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) )
96	66, 69	imaddd 12696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
97	95, 96	syl5eq 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
98	86, 93, 97	3brtr4d 4315	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) < ( Im ` T ) )
99	66, 69	addcld 9397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) e. CC )
100	94, 99	syl5eqel 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> T e. CC )
101		imval 12588	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. CC -> ( Im ` T ) = ( Re ` ( T / _i ) ) )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( Re ` ( T / _i ) ) )
103		ang.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
104		ang180lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) )
105	103, 94, 104	ang180lem1 22174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( N e. ZZ /\ ( T / _i ) e. RR ) )
106	105	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) e. RR )
107	106	rered 12705	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Re ` ( T / _i ) ) = ( T / _i ) )
108	102, 107	eqtrd 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( T / _i ) )
109	98, 108	breqtrd 4309	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) < ( T / _i ) )
110	39, 109	syl5eqbr 4318	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) )
111	24	renegcli 9662	. . . . . . . 8 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
112	111	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( 3 / 2 ) e. RR )
113	35	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
114		2pos 10405	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
115		pipos 21892	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
116	33, 34, 114, 115	mulgt0ii 9499	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 2 x. pi )
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 < ( 2 x. pi ) )
118		ltmuldiv 10194	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. RR /\ ( T / _i ) e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
119	112, 106, 113, 117, 118	syl112anc 1222	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
120	110, 119	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) )
121	22, 120	syl5eqbr 4318	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) )
122	33	renegcli 9662	. . . . . 6 |- -u 2 e. RR
123	122	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 e. RR )
124	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
125	35, 116	gt0ne0ii 9868	. . . . . . 7 |- ( 2 x. pi ) =/= 0
126	125	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
127	106, 113, 126	redivcld 10151	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
128	123, 124, 127	ltaddsubd 9931	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) <-> -u 2 < ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
129	121, 128	mpbid 210	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 < ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) )
130	129, 104	syl6breqr 4325	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 < N )
131	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> pi e. RR )
132	73	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) <_ pi )
133	75	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) <_ pi )
134	71, 72, 131, 131, 132, 133	le2addd 9949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( pi + pi ) )
135	26	2timesi 10434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) = ( pi + pi ) )
137	134, 81, 136	3brtr4d 4315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) )
138	84	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
139	67, 70, 113, 131, 137, 138	le2addd 9949	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( 2 x. pi ) + pi ) )
140	108, 97	eqtr3d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
141	87	oveq1i 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. pi ) = ( ( 2 + 1 ) x. pi )
142	1, 9, 26	adddiri 9389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + ( 1 x. pi ) )
143	26	mulid2i 9381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. pi ) = pi
144	143	oveq2i 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) + pi )
145	141, 142, 144	3eqtri 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + pi )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + pi ) )
147	139, 140, 146	3brtr4d 4315	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) )
148	36	subid1i 9672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = ( 2 x. pi )
149	148, 125	eqnetri 2619	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - 0 ) =/= 0
150		negsub 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
151	9, 44, 150	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
152	151	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
153		1rp 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR+
154	146, 140	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) + pi ) - ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
155	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
156	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> pi e. CC )
157	67	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. CC )
158	70	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
159	155, 156, 157, 158	addsub4d 9758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) + pi ) - ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
160	154, 159	eqtrd 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
161	160	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
162	23, 34	remulcli 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 3 x. pi ) e. RR
163	162	recni 9390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 3 x. pi ) e. CC
164		ax-icn 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- _i e. CC
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> _i e. CC )
166		ine0 9772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- _i =/= 0
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> _i =/= 0 )
168	100, 165, 167	divcld 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) e. CC )
169		subeq0 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 3 x. pi ) e. CC /\ ( T / _i ) e. CC ) -> ( ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 <-> ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) )
170	163, 168, 169	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 <-> ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) )
171	170	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 )
172	161, 171	eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 )
173		resubcl 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR )
174	35, 67, 173	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR )
175		subge0 9844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) <-> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) ) )
176	35, 67, 175	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) <-> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) ) )
177	137, 176	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) )
178		resubcl 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
179	34, 70, 178	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
180		subge0 9844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
181	34, 70, 180	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
182	138, 181	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
183		add20 9843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) ) /\ ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) ) )
184	174, 177, 179, 182, 183	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) ) )
185	184	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) )
186	172, 185	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) )
187	186	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 )
188	158	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
189		subeq0 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( pi e. CC /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC ) -> ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 <-> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
190	26, 188, 189	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 <-> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
191	187, 190	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) )
192	191	eqcomd 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi )
193		lognegb 22007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
194	193	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
195	194	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
196	192, 195	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> -u A e. RR+ )
197		rpaddcl 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR+ /\ -u A e. RR+ ) -> ( 1 + -u A ) e. RR+ )
198	153, 196, 197	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 + -u A ) e. RR+ )
199	152, 198	eqeltrrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 - A ) e. RR+ )
200	199	rpreccld 11029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) e. RR+ )
201	200	relogcld 22041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) e. RR )
202		negsubdi2 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( A - 1 ) = ( 1 - A ) )
203	44, 9, 202	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( A - 1 ) = ( 1 - A ) )
204	203	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( A - 1 ) / -u A ) = ( ( 1 - A ) / -u A ) )
205	57, 44, 58	div2negd 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( A - 1 ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
206	204, 205	eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
207	206	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
208	199, 196	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) e. RR+ )
209	207, 208	eqeltrrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( A - 1 ) / A ) e. RR+ )
210	209	relogcld 22041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) e. RR )
211	201, 210	readdcld 9405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. RR )
212	211	reim0d 12706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) = 0 )
213	212	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) - 0 ) )
214	186	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 )
215	213, 214	eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = 0 )
216	215	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) -> ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = 0 ) )
217	216	necon3d 2640	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - 0 ) =/= 0 -> ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) )
218	149, 217	mpi 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) )
219		ltlen 9468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T / _i ) e. RR /\ ( 3 x. pi ) e. RR ) -> ( ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) <-> ( ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) /\ ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) ) )
220	106, 162, 219	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) <-> ( ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) /\ ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) ) )
221	147, 218, 220	mpbir2and 913	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) )
222	221, 31	syl6breqr 4325	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
223	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 / 2 ) e. RR )
224		ltdivmul2 10199	. . . . . . 7 |- ( ( ( T / _i ) e. RR /\ ( 3 / 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) <-> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
225	106, 223, 113, 117, 224	syl112anc 1222	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) <-> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
226	222, 225	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) )
227	87	oveq1i 6096	. . . . . 6 |- ( 3 / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 )
228	1, 9, 1, 28	divdiri 10080	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 / 2 ) + ( 1 / 2 ) )
229		2div2e1 10436	. . . . . . 7 |- ( 2 / 2 ) = 1
230	229	oveq1i 6096	. . . . . 6 |- ( ( 2 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 + ( 1 / 2 ) )
231	227, 228, 230	3eqtri 2461	. . . . 5 |- ( 3 / 2 ) = ( 1 + ( 1 / 2 ) )
232	226, 231	syl6breq 4324	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 1 + ( 1 / 2 ) ) )
233	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 1 e. RR )
234	127, 124, 233	ltsubaddd 9927	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) < 1 <-> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 1 + ( 1 / 2 ) ) ) )
235	232, 234	mpbird 232	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) < 1 )
236	104, 235	syl5eqbr 4318	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> N < 1 )
237	130, 236	jca 532	1 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 < N /\ N < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2600   \ cdif 3318   {csn 3870   class class class wbr 4285   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   / cdiv 9985   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   ZZcz 10638   RR+crp 10983   Recre 12578   Imcim 12579   picpi 13344   logclog 21975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15537  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-cnfld 17788  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-topsp 18476  df-cld 18592  df-ntr 18593  df-cls 18594  df-nei 18671  df-lp 18709  df-perf 18710  df-cn 18800  df-cnp 18801  df-haus 18888  df-tx 19104  df-hmeo 19297  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-xms 19864  df-ms 19865  df-tms 19866  df-cncf 20423  df-limc 21310  df-dv 21311  df-log 21977

This theorem is referenced by:  ang180lem3  22176