MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ang180lem2 22175
Description: Lemma for ang180 22179. Show that the revolution number  N is strictly between  -u 2 and  1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 21990, but the resulting bound gives only  N  <_ 
1 for the upper bound. The case  N  =  1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments  A ,  1  /  ( 1  -  A ) ,  ( A  -  1 )  /  A must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if  A is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
ang180lem1.2  |-  T  =  ( ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) )  +  ( log `  A ) )
ang180lem1.3  |-  N  =  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ang180lem2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  <  N  /\  N  <  1 ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 10384 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
2 1re 9377 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
32rehalfcli 10565 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43recni 9390 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
51, 4negsubdii 9685 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( -u 2  +  ( 1  / 
2 ) )
6 4d2e2 10470 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  2 )  =  2
76oveq1i 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 2  -  (
1  /  2 ) )
8 4cn 10391 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
9 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
10 2cnne0 10528 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
11 divsubdir 10019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
2 )  =  ( ( 4  /  2
)  -  ( 1  /  2 ) ) )
128, 9, 10, 11mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 4  / 
2 )  -  (
1  /  2 ) )
13 3cn 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
149, 13addcomi 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
15 df-4 10374 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1614, 15eqtr4i 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  3 )  =  4
178, 9, 13, 16subaddrii 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  -  1 )  =  3
1817oveq1i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  /  2 )  =  ( 3  /  2
)
1912, 18eqtr3i 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 3  /  2
)
207, 19eqtr3i 2459 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 3  /  2
)
2120negeqi 9595 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 3  / 
2 )
225, 21eqtr3i 2459 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 3  / 
2 )
23 3re 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
2423rehalfcli 10565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
2524recni 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
26 picn 21891 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
2725, 1, 26mulassi 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 3  /  2
)  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )
28 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2913, 1, 28divcan1i 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  2 )  =  3
3029oveq1i 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 3  /  2
)  x.  2 )  x.  pi )  =  ( 3  x.  pi )
3127, 30eqtr3i 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 3  x.  pi )
3231negeqi 9595 . . . . . . . 8  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( 3  x.  pi )
33 2re 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
34 pire 21890 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
3533, 34remulcli 9392 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3635recni 9390 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3725, 36mulneg1i 9782 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )
3813, 26mulneg2i 9783 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  -u pi )  = 
-u ( 3  x.  pi )
3932, 37, 383eqtr4i 2467 . . . . . . 7  |-  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 3  x.  -u pi )
4034renegcli 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
4133, 40remulcli 9392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  -u pi )  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  e.  RR )
4340a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  e.  RR )
44 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  e.  CC )
45 subcl 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
469, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
47 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  =/=  1 )
4847necomd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  1  =/=  A )
49 subeq0 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
509, 44, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  <->  1  =  A ) )
5150necon3bid 2637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  -  A )  =/=  0 )
5346, 52reccld 10092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  ( 1  -  A ) )  e.  CC )
5446, 52recne0d 10093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  ( 1  -  A ) )  =/=  0 )
5553, 54logcld 21991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  e.  CC )
56 subcl 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5744, 9, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
58 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  =/=  0 )
5957, 44, 58divcld 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  /  A )  e.  CC )
60 subeq0 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  =  0  <-> 
A  =  1 ) )
6144, 9, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  =  0  <->  A  =  1 ) )
6261necon3bid 2637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  =/=  0  <->  A  =/=  1 ) )
6347, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( A  -  1 )  =/=  0 )
6457, 44, 63, 58divne0d 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  /  A )  =/=  0 )
6559, 64logcld 21991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) )  e.  CC )
6655, 65addcld 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  e.  CC )
6766imcld 12676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )
68 logcl 21989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
69683adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7069imcld 12676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
7155imcld 12676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  e.  RR )
7265imcld 12676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  e.  RR )
7353, 54logimcld 21992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  <_  pi ) )
7473simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )
7559, 64logimcld 21992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  <_  pi ) )
7675simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )
7743, 43, 71, 72, 74, 76lt2addd 9953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )
78 negpicn 21893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  CC
79782timesi 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  -u pi )  =  ( -u pi  +  -u pi )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  =  ( -u pi  +  -u pi ) )
8155, 65imaddd 12696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )
8277, 80, 813brtr4d 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  <  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )
83 logimcl 21990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
84833adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
8584simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8642, 43, 67, 70, 82, 85lt2addd 9953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 2  x.  -u pi )  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
87 df-3 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
8887oveq1i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  -u pi )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  -u pi )
891, 9, 78adddiri 9389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  -u pi )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  +  ( 1  x.  -u pi ) )
9078mulid2i 9381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  -u pi )  = 
-u pi
9190oveq2i 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  -u pi )  +  ( 1  x.  -u pi ) )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  + 
-u pi )
9288, 89, 913eqtri 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  -u pi )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  +  -u pi )
9392a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  =  ( (
2  x.  -u pi )  +  -u pi ) )
94 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) )  +  ( log `  A ) )
9594fveq2i 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im
`  T )  =  ( Im `  (
( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) ) )
9666, 69imaddd 12696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9795, 96syl5eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( ( Im
`  ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9886, 93, 973brtr4d 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  <  ( Im `  T ) )
9966, 69addcld 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) )  e.  CC )
10094, 99syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  T  e.  CC )
101 imval 12588 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
Im `  T )  =  ( Re `  ( T  /  _i ) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( Re `  ( T  /  _i ) ) )
103 ang.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
104 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )
105103, 94, 104ang180lem1 22174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( T  /  _i )  e.  RR ) )
106105simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  e.  RR )
107106rered 12705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Re `  ( T  /  _i ) )  =  ( T  /  _i ) )
108102, 107eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( T  /  _i ) )
10998, 108breqtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  <  ( T  /  _i ) )
11039, 109syl5eqbr 4318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  <  ( T  /  _i ) )
11124renegcli 9662 . . . . . . . 8  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u (
3  /  2 )  e.  RR )
11335a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
114 2pos 10405 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
115 pipos 21892 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
11633, 34, 114, 115mulgt0ii 9499 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <  ( 2  x.  pi ) )
118 ltmuldiv 10194 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  RR  /\  ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( -u (
3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  < 
( T  /  _i ) 
<-> 
-u ( 3  / 
2 )  <  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
119112, 106, 113, 117, 118syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( -u ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( T  /  _i )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) ) ) )
120110, 119mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u (
3  /  2 )  <  ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
12122, 120syl5eqbr 4318 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
12233renegcli 9662 . . . . . 6  |-  -u 2  e.  RR
123122a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  e.  RR )
1243a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
12535, 116gt0ne0ii 9868 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
126125a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
127106, 113, 126redivcld 10151 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
128123, 124, 127ltaddsubd 9931 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( -u 2  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  <->  -u 2  < 
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
129121, 128mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  <  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) ) )
130129, 104syl6breqr 4325 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  <  N )
13134a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  pi  e.  RR )
13273simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  <_  pi )
13375simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  <_  pi )
13471, 72, 131, 131, 132, 133le2addd 9949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  <_  (
pi  +  pi ) )
135262timesi 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi ) )
137134, 81, 1363brtr4d 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  pi ) )
13884simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
13967, 70, 113, 131, 137, 138le2addd 9949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
( 2  x.  pi )  +  pi )
)
140108, 97eqtr3d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  =  ( ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14187oveq1i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  pi )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  pi )
1421, 9, 26adddiri 9389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )
14326mulid2i 9381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
144143oveq2i 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi )
145141, 142, 1443eqtri 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi )
146145a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi ) )
147139, 140, 1463brtr4d 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi ) )
14836subid1i 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =  ( 2  x.  pi )
149148, 125eqnetri 2619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =/=  0
150 negsub 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A ) )
1519, 44, 150sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  +  -u A
)  =  ( 1  -  A ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A
) )
153 1rp 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR+
154146, 140oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  +  pi )  -  (
( Im `  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
15536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
15626a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  pi  e.  CC )
15767recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  CC )
15870recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
159155, 156, 157, 158addsub4d 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  +  pi )  -  ( (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
160154, 159eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
161160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
16223, 34remulcli 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 3  x.  pi )  e.  RR
163162recni 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  x.  pi )  e.  CC
164 ax-icn 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  _i  e.  CC
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  _i  e.  CC )
166 ine0 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  _i  =/=  0
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  _i  =/=  0 )
168100, 165, 167divcld 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  e.  CC )
169 subeq0 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 3  x.  pi )  e.  CC  /\  ( T  /  _i )  e.  CC )  ->  (
( ( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0  <->  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) ) )
170163, 168, 169sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0  <->  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) ) )
171170biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0 )
172161, 171eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  +  ( pi 
-  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0 )
173 resubcl 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  e.  RR )
17435, 67, 173sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  e.  RR )
175 subge0 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  <->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
17635, 67, 175sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  <->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
177137, 176mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) ) )
178 resubcl 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
17934, 70, 178sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
180 subge0 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
)
18134, 70, 180sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
0  <_  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
)
182138, 181mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <_  ( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
183 add20 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) ) )  /\  ( ( pi  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0  <->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) ) )
184174, 177, 179, 182, 183syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0  <->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) ) )
185184biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  +  ( pi 
-  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) )
186172, 185syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  0  /\  ( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  0 ) )
187186simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  0 )
188158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  CC )
189 subeq0 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  0  <->  pi  =  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
19026, 188, 189sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0  <->  pi  =  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
191187, 190mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  pi  =  ( Im `  ( log `  A ) ) )
192191eqcomd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  pi )
193 lognegb 22007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
1941933adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  pi ) )
195194adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
196192, 195mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  -u A  e.  RR+ )
197 rpaddcl 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  -u A  e.  RR+ )  ->  (
1  +  -u A
)  e.  RR+ )
198153, 196, 197sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  +  -u A )  e.  RR+ )
199152, 198eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  -  A )  e.  RR+ )
200199rpreccld 11029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  /  ( 1  -  A ) )  e.  RR+ )
201200relogcld 22041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  e.  RR )
202 negsubdi2 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
20344, 9, 202sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
204203oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( A  -  1 )  /  -u A
)  =  ( ( 1  -  A )  /  -u A ) )
20557, 44, 58div2negd 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( A  -  1 )  /  -u A
)  =  ( ( A  -  1 )  /  A ) )
206204, 205eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  /  -u A
)  =  ( ( A  -  1 )  /  A ) )
207206adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
1  -  A )  /  -u A )  =  ( ( A  - 
1 )  /  A
) )
208199, 196rpdivcld 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
1  -  A )  /  -u A )  e.  RR+ )
209207, 208eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( ( A  -  1 )  /  A )  e.  RR+ )
210209relogcld 22041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) )  e.  RR )
211201, 210readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) )  e.  RR )
212211reim0d 12706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  =  0 )
213212oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  -  0 ) )
214186simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  0 )
215213, 214eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  0 )  =  0 )
216215ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  0 )  =  0 ) )
217216necon3d 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =/=  0  -> 
( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) )
218149, 217mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) )
219 ltlen 9468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
3  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( T  /  _i )  <  ( 3  x.  pi )  <->  ( ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi )  /\  ( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) ) )
220106, 162, 219sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  <  ( 3  x.  pi )  <->  ( ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi )  /\  ( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) ) )
221147, 218, 220mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  < 
( 3  x.  pi ) )
222221, 31syl6breqr 4325 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  < 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
22324a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  /  2 )  e.  RR )
224 ltdivmul2 10199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
3  /  2 )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
3  /  2 )  <-> 
( T  /  _i )  <  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
225106, 223, 113, 117, 224syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( 3  /  2 )  <->  ( T  /  _i )  <  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
226222, 225mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 3  /  2
) )
22787oveq1i 6096 . . . . . 6  |-  ( 3  /  2 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  2
)
2281, 9, 1, 28divdiri 10080 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )
229 2div2e1 10436 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
230229oveq1i 6096 . . . . . 6  |-  ( ( 2  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  2 ) )
231227, 228, 2303eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( 3  /  2 )  =  ( 1  +  ( 1  /  2 ) )
232226, 231syl6breq 4324 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 1  +  ( 1  /  2 ) ) )
2332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  1  e.  RR )
234127, 124, 233ltsubaddd 9927 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )  <  1  <->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 1  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
235232, 234mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) )  -  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
236104, 235syl5eqbr 4318 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  N  <  1 )
237130, 236jca 532 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  <  N  /\  N  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600    \ cdif 3318   {csn 3870   class class class wbr 4285   ` cfv 5411  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   ZZcz 10638   RR+crp 10983   Recre 12578   Imcim 12579   picpi 13344   logclog 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15537  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-cnfld 17788  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-topsp 18476  df-cld 18592  df-ntr 18593  df-cls 18594  df-nei 18671  df-lp 18709  df-perf 18710  df-cn 18800  df-cnp 18801  df-haus 18888  df-tx 19104  df-hmeo 19297  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-xms 19864  df-ms 19865  df-tms 19866  df-cncf 20423  df-limc 21310  df-dv 21311  df-log 21977
This theorem is referenced by:  ang180lem3  22176
  Copyright terms: Public domain W3C validator