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Theorem ang180lem2 23739
 Description: Lemma for ang180 23743. Show that the revolution number is strictly between and . Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 23519, but the resulting bound gives only for the upper bound. The case is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1
ang180lem1.2
ang180lem1.3
Assertion
Ref Expression
ang180lem2
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 10680 . . . . . . 7
2 1re 9642 . . . . . . . . 9
32rehalfcli 10861 . . . . . . . 8
43recni 9655 . . . . . . 7
51, 4negsubdii 9960 . . . . . 6
6 4d2e2 10766 . . . . . . . . 9
76oveq1i 6300 . . . . . . . 8
8 4cn 10687 . . . . . . . . . 10
9 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10
10 2cnne0 10824 . . . . . . . . . 10
11 divsubdir 10303 . . . . . . . . . 10
128, 9, 10, 11mp3an 1364 . . . . . . . . 9
13 3cn 10684 . . . . . . . . . . 11
149, 13addcomi 9824 . . . . . . . . . . . 12
15 df-4 10670 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . 11
178, 9, 13, 16subaddrii 9964 . . . . . . . . . 10
1817oveq1i 6300 . . . . . . . . 9
1912, 18eqtr3i 2475 . . . . . . . 8
207, 19eqtr3i 2475 . . . . . . 7
2120negeqi 9868 . . . . . 6
225, 21eqtr3i 2475 . . . . 5
23 3re 10683 . . . . . . . . . . . . 13
2423rehalfcli 10861 . . . . . . . . . . . 12
2524recni 9655 . . . . . . . . . . 11
26 picn 23414 . . . . . . . . . . 11
2725, 1, 26mulassi 9652 . . . . . . . . . 10
28 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12
2913, 1, 28divcan1i 10351 . . . . . . . . . . 11
3029oveq1i 6300 . . . . . . . . . 10
3127, 30eqtr3i 2475 . . . . . . . . 9
3231negeqi 9868 . . . . . . . 8
33 2re 10679 . . . . . . . . . . 11
34 pire 23413 . . . . . . . . . . 11
3533, 34remulcli 9657 . . . . . . . . . 10
3635recni 9655 . . . . . . . . 9
3725, 36mulneg1i 10064 . . . . . . . 8
3813, 26mulneg2i 10065 . . . . . . . 8
3932, 37, 383eqtr4i 2483 . . . . . . 7
4034renegcli 9935 . . . . . . . . . . . 12
4133, 40remulcli 9657 . . . . . . . . . . 11
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10
4340a1i 11 . . . . . . . . . 10
44 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15
469, 44, 45sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 subeq0 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
509, 44, 49sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150necon3bid 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15
5248, 51mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14
5346, 52reccld 10376 . . . . . . . . . . . . 13
5446, 52recne0d 10377 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54logcld 23520 . . . . . . . . . . . 12
56 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15
5744, 9, 56sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 44, 58divcld 10383 . . . . . . . . . . . . 13
60 subeq0 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6144, 9, 60sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261necon3bid 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15
6347, 62mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14
6457, 44, 63, 58divne0d 10399 . . . . . . . . . . . . 13
6559, 64logcld 23520 . . . . . . . . . . . 12
6655, 65addcld 9662 . . . . . . . . . . 11
6766imcld 13258 . . . . . . . . . 10
68 logcl 23518 . . . . . . . . . . . 12
69683adant3 1028 . . . . . . . . . . 11
7069imcld 13258 . . . . . . . . . 10
7155imcld 13258 . . . . . . . . . . . 12
7265imcld 13258 . . . . . . . . . . . 12
7353, 54logimcld 23521 . . . . . . . . . . . . 13
7473simpld 461 . . . . . . . . . . . 12
7559, 64logimcld 23521 . . . . . . . . . . . . 13
7675simpld 461 . . . . . . . . . . . 12
7743, 43, 71, 72, 74, 76lt2addd 10236 . . . . . . . . . . 11
78 negpicn 23417 . . . . . . . . . . . . 13
79782timesi 10730 . . . . . . . . . . . 12
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11
8155, 65imaddd 13278 . . . . . . . . . . 11
8277, 80, 813brtr4d 4433 . . . . . . . . . 10
83 logimcl 23519 . . . . . . . . . . . 12
84833adant3 1028 . . . . . . . . . . 11
8584simpld 461 . . . . . . . . . 10
8642, 43, 67, 70, 82, 85lt2addd 10236 . . . . . . . . 9
87 df-3 10669 . . . . . . . . . . . 12
8887oveq1i 6300 . . . . . . . . . . 11
891, 9, 78adddiri 9654 . . . . . . . . . . 11
9078mulid2i 9646 . . . . . . . . . . . 12
9190oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11
9288, 89, 913eqtri 2477 . . . . . . . . . 10
9392a1i 11 . . . . . . . . 9
94 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11
9594fveq2i 5868 . . . . . . . . . 10
9666, 69imaddd 13278 . . . . . . . . . 10
9795, 96syl5eq 2497 . . . . . . . . 9
9886, 93, 973brtr4d 4433 . . . . . . . 8
9966, 69addcld 9662 . . . . . . . . . . 11
10094, 99syl5eqel 2533 . . . . . . . . . 10
101 imval 13170 . . . . . . . . . 10
102100, 101syl 17 . . . . . . . . 9
103 ang.1 . . . . . . . . . . . 12
104 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12
105103, 94, 104ang180lem1 23738 . . . . . . . . . . 11
106105simprd 465 . . . . . . . . . 10
107106rered 13287 . . . . . . . . 9
108102, 107eqtrd 2485 . . . . . . . 8
10998, 108breqtrd 4427 . . . . . . 7
11039, 109syl5eqbr 4436 . . . . . 6
11124renegcli 9935 . . . . . . . 8
112111a1i 11 . . . . . . 7
11335a1i 11 . . . . . . 7
114 2pos 10701 . . . . . . . . 9
115 pipos 23415 . . . . . . . . 9
11633, 34, 114, 115mulgt0ii 9768 . . . . . . . 8
117116a1i 11 . . . . . . 7
118 ltmuldiv 10478 . . . . . . 7
119112, 106, 113, 117, 118syl112anc 1272 . . . . . 6
120110, 119mpbid 214 . . . . 5
12122, 120syl5eqbr 4436 . . . 4
12233renegcli 9935 . . . . . 6
123122a1i 11 . . . . 5
1243a1i 11 . . . . 5
12535, 116gt0ne0ii 10150 . . . . . . 7
126125a1i 11 . . . . . 6
127106, 113, 126redivcld 10435 . . . . 5
128123, 124, 127ltaddsubd 10213 . . . 4
129121, 128mpbid 214 . . 3
130129, 104syl6breqr 4443 . 2
13134a1i 11 . . . . . . . . . 10
13273simprd 465 . . . . . . . . . . . 12
13375simprd 465 . . . . . . . . . . . 12
13471, 72, 131, 131, 132, 133le2addd 10232 . . . . . . . . . . 11
135262timesi 10730 . . . . . . . . . . . 12
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11
137134, 81, 1363brtr4d 4433 . . . . . . . . . 10
13884simprd 465 . . . . . . . . . 10
13967, 70, 113, 131, 137, 138le2addd 10232 . . . . . . . . 9
140108, 97eqtr3d 2487 . . . . . . . . 9
14187oveq1i 6300 . . . . . . . . . . 11
1421, 9, 26adddiri 9654 . . . . . . . . . . 11
14326mulid2i 9646 . . . . . . . . . . . 12
144143oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11
145141, 142, 1443eqtri 2477 . . . . . . . . . 10
146145a1i 11 . . . . . . . . 9
147139, 140, 1463brtr4d 4433 . . . . . . . 8
14836subid1i 9946 . . . . . . . . . 10
149148, 125eqnetri 2694 . . . . . . . . 9
150 negsub 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1519, 44, 150sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153 1rp 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
154146, 140oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
15536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15626a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15767recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15870recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
159155, 156, 157, 158addsub4d 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
160154, 159eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
161160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16223, 34remulcli 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
163162recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
164 ax-icn 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
166 ine0 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
168100, 165, 167divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
169 subeq0 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
170163, 168, 169sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
171170biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
172161, 171eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
173 resubcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17435, 67, 173sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
175 subge0 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
17635, 67, 175sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
177137, 176mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
178 resubcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17934, 70, 178sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
180 subge0 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18134, 70, 180sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
182138, 181mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
183 add20 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
184174, 177, 179, 182, 183syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
185184biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
186172, 185syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
187186simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
188158adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
189 subeq0 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19026, 188, 189sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
191187, 190mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
192191eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
193 lognegb 23539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1941933adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
195194adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196192, 195mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197 rpaddcl 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
198153, 196, 197sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199152, 198eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
200199rpreccld 11351 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201200relogcld 23572 . . . . . . . . . . . . . . 15
202 negsubdi2 9933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20344, 9, 202sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204203oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20557, 44, 58div2negd 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
206204, 205eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207206adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208199, 196rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
209207, 208eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
210209relogcld 23572 . . . . . . . . . . . . . . 15
211201, 210readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14
212211reim0d 13288 . . . . . . . . . . . . 13
213212oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12
214186simpld 461 . . . . . . . . . . . 12
215213, 214eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . 11
216215ex 436 . . . . . . . . . 10
217216necon3d 2645 . . . . . . . . 9
218149, 217mpi 20 . . . . . . . 8
219 ltlen 9735 . . . . . . . . 9
220106, 162, 219sylancl 668 . . . . . . . 8
221147, 218, 220mpbir2and 933 . . . . . . 7
222221, 31syl6breqr 4443 . . . . . 6
22324a1i 11 . . . . . . 7
224 ltdivmul2 10482 . . . . . . 7
225106, 223, 113, 117, 224syl112anc 1272 . . . . . 6
226222, 225mpbird 236 . . . . 5
22787oveq1i 6300 . . . . . 6
2281, 9, 1, 28divdiri 10364 . . . . . 6
229 2div2e1 10732 . . . . . . 7
230229oveq1i 6300 . . . . . 6
231227, 228, 2303eqtri 2477 . . . . 5
232226, 231syl6breq 4442 . . . 4
2332a1i 11 . . . . 5
234127, 124, 233ltsubaddd 10209 . . . 4
235232, 234mpbird 236 . . 3
236104, 235syl5eqbr 4436 . 2
237130, 236jca 535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   cdif 3401  csn 3968   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540  ci 9541   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cneg 9861   cdiv 10269  c2 10659  c3 10660  c4 10661  cz 10937  crp 11302  cre 13160  cim 13161  cpi 14119  clog 23504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506 This theorem is referenced by:  ang180lem3  23740
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