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Theorem ang180lem2 23268
Description: Lemma for ang180 23272. Show that the revolution number  N is strictly between  -u 2 and  1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 23083, but the resulting bound gives only  N  <_ 
1 for the upper bound. The case  N  =  1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments  A ,  1  /  ( 1  -  A ) ,  ( A  -  1 )  /  A must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if  A is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
ang180lem1.2  |-  T  =  ( ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) )  +  ( log `  A ) )
ang180lem1.3  |-  N  =  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ang180lem2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  <  N  /\  N  <  1 ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    T( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem ang180lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 10627 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
2 1re 9612 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
32rehalfcli 10808 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43recni 9625 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
51, 4negsubdii 9924 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( -u 2  +  ( 1  / 
2 ) )
6 4d2e2 10713 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  2 )  =  2
76oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 2  -  (
1  /  2 ) )
8 4cn 10634 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
9 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
10 2cnne0 10771 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
11 divsubdir 10261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 4  -  1 )  / 
2 )  =  ( ( 4  /  2
)  -  ( 1  /  2 ) ) )
128, 9, 10, 11mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 4  / 
2 )  -  (
1  /  2 ) )
13 3cn 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
149, 13addcomi 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
15 df-4 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1614, 15eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  3 )  =  4
178, 9, 13, 16subaddrii 9928 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  -  1 )  =  3
1817oveq1i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  -  1 )  /  2 )  =  ( 3  /  2
)
1912, 18eqtr3i 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 3  /  2
)
207, 19eqtr3i 2488 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 3  /  2
)
2120negeqi 9832 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 3  / 
2 )
225, 21eqtr3i 2488 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 3  / 
2 )
23 3re 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
2423rehalfcli 10808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
2524recni 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
26 picn 22978 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
2725, 1, 26mulassi 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 3  /  2
)  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )
28 2ne0 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2913, 1, 28divcan1i 10309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  2 )  =  3
3029oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 3  /  2
)  x.  2 )  x.  pi )  =  ( 3  x.  pi )
3127, 30eqtr3i 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 3  x.  pi )
3231negeqi 9832 . . . . . . . 8  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( 3  x.  pi )
33 2re 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
34 pire 22977 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
3533, 34remulcli 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3635recni 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3725, 36mulneg1i 10023 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )
3813, 26mulneg2i 10024 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  -u pi )  = 
-u ( 3  x.  pi )
3932, 37, 383eqtr4i 2496 . . . . . . 7  |-  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 3  x.  -u pi )
4034renegcli 9899 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
4133, 40remulcli 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  -u pi )  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  e.  RR )
4340a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  e.  RR )
44 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  e.  CC )
45 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
469, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
47 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  =/=  1 )
4847necomd 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  1  =/=  A )
49 subeq0 9864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
509, 44, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  <->  1  =  A ) )
5150necon3bid 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  -  A )  =/=  0 )
5346, 52reccld 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  ( 1  -  A ) )  e.  CC )
5446, 52recne0d 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  ( 1  -  A ) )  =/=  0 )
5553, 54logcld 23084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  e.  CC )
56 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5744, 9, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
58 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  A  =/=  0 )
5957, 44, 58divcld 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  /  A )  e.  CC )
60 subeq0 9864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  =  0  <-> 
A  =  1 ) )
6144, 9, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  =  0  <->  A  =  1 ) )
6261necon3bid 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  =/=  0  <->  A  =/=  1 ) )
6347, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( A  -  1 )  =/=  0 )
6457, 44, 63, 58divne0d 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( A  -  1 )  /  A )  =/=  0 )
6559, 64logcld 23084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) )  e.  CC )
6655, 65addcld 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  e.  CC )
6766imcld 13040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )
68 logcl 23082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
69683adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7069imcld 13040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
7155imcld 13040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  e.  RR )
7265imcld 13040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  e.  RR )
7353, 54logimcld 23085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  <_  pi ) )
7473simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )
7559, 64logimcld 23085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) )  /\  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  <_  pi ) )
7675simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )
7743, 43, 71, 72, 74, 76lt2addd 10195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )
78 negpicn 22981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  CC
79782timesi 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  -u pi )  =  ( -u pi  +  -u pi )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  =  ( -u pi  +  -u pi ) )
8155, 65imaddd 13060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) ) )  +  ( Im
`  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )
8277, 80, 813brtr4d 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  -u pi )  <  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )
83 logimcl 23083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
84833adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
8584simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
8642, 43, 67, 70, 82, 85lt2addd 10195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 2  x.  -u pi )  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
87 df-3 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
8887oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  -u pi )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  -u pi )
891, 9, 78adddiri 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  -u pi )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  +  ( 1  x.  -u pi ) )
9078mulid2i 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  -u pi )  = 
-u pi
9190oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  -u pi )  +  ( 1  x.  -u pi ) )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  + 
-u pi )
9288, 89, 913eqtri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  -u pi )  =  ( ( 2  x.  -u pi )  +  -u pi )
9392a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  =  ( (
2  x.  -u pi )  +  -u pi ) )
94 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) )  +  ( log `  A ) )
9594fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im
`  T )  =  ( Im `  (
( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) ) )
9666, 69imaddd 13060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9795, 96syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( ( Im
`  ( ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9886, 93, 973brtr4d 4486 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  <  ( Im `  T ) )
9966, 69addcld 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  +  ( log `  A
) )  e.  CC )
10094, 99syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  T  e.  CC )
101 imval 12952 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
Im `  T )  =  ( Re `  ( T  /  _i ) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( Re `  ( T  /  _i ) ) )
103 ang.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
104 ang180lem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )
105103, 94, 104ang180lem1 23267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( T  /  _i )  e.  RR ) )
106105simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  e.  RR )
107106rered 13069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Re `  ( T  /  _i ) )  =  ( T  /  _i ) )
108102, 107eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  T )  =  ( T  /  _i ) )
10998, 108breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  -u pi )  <  ( T  /  _i ) )
11039, 109syl5eqbr 4489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  <  ( T  /  _i ) )
11124renegcli 9899 . . . . . . . 8  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u (
3  /  2 )  e.  RR )
11335a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
114 2pos 10648 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
115 pipos 22979 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
11633, 34, 114, 115mulgt0ii 9735 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <  ( 2  x.  pi ) )
118 ltmuldiv 10436 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  RR  /\  ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( -u (
3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  < 
( T  /  _i ) 
<-> 
-u ( 3  / 
2 )  <  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
119112, 106, 113, 117, 118syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( -u ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( T  /  _i )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) ) ) )
120110, 119mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u (
3  /  2 )  <  ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
12122, 120syl5eqbr 4489 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
12233renegcli 9899 . . . . . 6  |-  -u 2  e.  RR
123122a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  e.  RR )
1243a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
12535, 116gt0ne0ii 10110 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
126125a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
127106, 113, 126redivcld 10393 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
128123, 124, 127ltaddsubd 10173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( -u 2  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  <->  -u 2  < 
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
129121, 128mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  <  ( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) ) )
130129, 104syl6breqr 4496 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u 2  <  N )
13134a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  pi  e.  RR )
13273simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )  <_  pi )
13375simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) )  <_  pi )
13471, 72, 131, 131, 132, 133le2addd 10191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  ( ( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  <_  (
pi  +  pi ) )
135262timesi 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi ) )
137134, 81, 1363brtr4d 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  pi ) )
13884simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
13967, 70, 113, 131, 137, 138le2addd 10191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( Im `  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  (
( 2  x.  pi )  +  pi )
)
140108, 97eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  =  ( ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14187oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  pi )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  pi )
1421, 9, 26adddiri 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )
14326mulid2i 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
144143oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi )
145141, 142, 1443eqtri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi )
146145a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  +  pi ) )
147139, 140, 1463brtr4d 4486 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi ) )
14836subid1i 9910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =  ( 2  x.  pi )
149148, 125eqnetri 2753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =/=  0
150 negsub 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A ) )
1519, 44, 150sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
1  +  -u A
)  =  ( 1  -  A ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A
) )
153 1rp 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR+
154146, 140oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  +  pi )  -  (
( Im `  (
( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
15536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
15626a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  pi  e.  CC )
15767recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  CC )
15870recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
159155, 156, 157, 158addsub4d 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  +  pi )  -  ( (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  +  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
160154, 159eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
161160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
16223, 34remulcli 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 3  x.  pi )  e.  RR
163162recni 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  x.  pi )  e.  CC
164 ax-icn 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  _i  e.  CC
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  _i  e.  CC )
166 ine0 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  _i  =/=  0
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  _i  =/=  0 )
168100, 165, 167divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  e.  CC )
169 subeq0 9864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 3  x.  pi )  e.  CC  /\  ( T  /  _i )  e.  CC )  ->  (
( ( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0  <->  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) ) )
170163, 168, 169sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0  <->  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) ) )
171170biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
3  x.  pi )  -  ( T  /  _i ) )  =  0 )
172161, 171eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  +  ( pi 
-  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0 )
173 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  e.  RR )
17435, 67, 173sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  e.  RR )
175 subge0 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  <->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
17635, 67, 175sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  <->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
177137, 176mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) ) )
178 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
17934, 70, 178sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
180 subge0 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
)
18134, 70, 180sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
0  <_  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
)
182138, 181mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  0  <_  ( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
183 add20 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) ) )  /\  ( ( pi  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0  <->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) ) )
184174, 177, 179, 182, 183syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  +  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0  <->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) ) )
185184biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( ( ( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  +  ( pi 
-  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  -  (
Im `  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) ) ) )  =  0  /\  (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0 ) )
186172, 185syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  0  /\  ( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  0 ) )
187186simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( pi  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  0 )
188158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  CC )
189 subeq0 9864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( pi  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  0  <->  pi  =  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
19026, 188, 189sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
pi  -  ( Im `  ( log `  A
) ) )  =  0  <->  pi  =  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
191187, 190mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  pi  =  ( Im `  ( log `  A ) ) )
192191eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  pi )
193 lognegb 23100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
1941933adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  pi ) )
195194adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
196192, 195mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  -u A  e.  RR+ )
197 rpaddcl 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  -u A  e.  RR+ )  ->  (
1  +  -u A
)  e.  RR+ )
198153, 196, 197sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  +  -u A )  e.  RR+ )
199152, 198eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  -  A )  e.  RR+ )
200199rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( 1  /  ( 1  -  A ) )  e.  RR+ )
201200relogcld 23134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )  e.  RR )
202 negsubdi2 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
20344, 9, 202sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
204203oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( A  -  1 )  /  -u A
)  =  ( ( 1  -  A )  /  -u A ) )
20557, 44, 58div2negd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u ( A  -  1 )  /  -u A
)  =  ( ( A  -  1 )  /  A ) )
206204, 205eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 1  -  A
)  /  -u A
)  =  ( ( A  -  1 )  /  A ) )
207206adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
1  -  A )  /  -u A )  =  ( ( A  - 
1 )  /  A
) )
208199, 196rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
1  -  A )  /  -u A )  e.  RR+ )
209207, 208eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( ( A  -  1 )  /  A )  e.  RR+ )
210209relogcld 23134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) )  e.  RR )
211201, 210readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) )  +  ( log `  (
( A  -  1 )  /  A ) ) )  e.  RR )
212211reim0d 13070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) )  =  0 )
213212oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  -  0 ) )
214186simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  ( Im `  ( ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  +  ( log `  ( ( A  - 
1 )  /  A
) ) ) ) )  =  0 )
215213, 214eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  /\  ( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  -  0 )  =  0 )
216215ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( 3  x.  pi )  =  ( T  /  _i )  ->  (
( 2  x.  pi )  -  0 )  =  0 ) )
217216necon3d 2681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  -  0 )  =/=  0  -> 
( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) )
218149, 217mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) )
219 ltlen 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
3  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( T  /  _i )  <  ( 3  x.  pi )  <->  ( ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi )  /\  ( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) ) )
220106, 162, 219sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  <  ( 3  x.  pi )  <->  ( ( T  /  _i )  <_ 
( 3  x.  pi )  /\  ( 3  x.  pi )  =/=  ( T  /  _i ) ) ) )
221147, 218, 220mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  < 
( 3  x.  pi ) )
222221, 31syl6breqr 4496 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( T  /  _i )  < 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
22324a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
3  /  2 )  e.  RR )
224 ltdivmul2 10440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  /  _i )  e.  RR  /\  (
3  /  2 )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
3  /  2 )  <-> 
( T  /  _i )  <  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
225106, 223, 113, 117, 224syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( 3  /  2 )  <->  ( T  /  _i )  <  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
226222, 225mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 3  /  2
) )
22787oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( 3  /  2 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  2
)
2281, 9, 1, 28divdiri 10322 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )
229 2div2e1 10679 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
230229oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( 2  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  2 ) )
231227, 228, 2303eqtri 2490 . . . . 5  |-  ( 3  /  2 )  =  ( 1  +  ( 1  /  2 ) )
232226, 231syl6breq 4495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 1  +  ( 1  /  2 ) ) )
2332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  1  e.  RR )
234127, 124, 233ltsubaddd 10169 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( ( T  /  _i )  / 
( 2  x.  pi ) )  -  (
1  /  2 ) )  <  1  <->  (
( T  /  _i )  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( 1  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
235232, 234mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  (
( ( T  /  _i )  /  (
2  x.  pi ) )  -  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
236104, 235syl5eqbr 4489 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  N  <  1 )
237130, 236jca 532 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  A  =/=  1 )  ->  ( -u 2  <  N  /\  N  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   _ici 9511    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   ZZcz 10885   RR+crp 11245   Recre 12942   Imcim 12943   picpi 13814   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070
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