Theorem renegcli 10221

Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10223 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
renegcli	⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 9886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3		recn 9905	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		df-neg 10148	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
5	4	eqeq1i 2615	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6		0cn 9911	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	1	recni 9931	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8		subadd 10163	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	6, 7, 8	mp3an12 1406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	5, 9	syl5bb 271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2683	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	11, 12	sylbird 249	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	13	rexlimiv 3009	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	mp2b 10	1 ⊢ -𝐴 ∈ ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  resubcli  10222  renegcl  10223  recgt0ii  10808  inelr  10887  cju  10893  neg1rr  11002  sincos2sgn  14763  dvdslelem  14869  divalglem1  14955  divalglem6  14959  modsubi  15614  neghalfpire  24021  coseq0negpitopi  24059  pige3  24073  negpitopissre  24090  eff1o  24099  ellogrn  24110  logimclad  24123  logneg  24138  logcj  24156  argregt0  24160  argrege0  24161  argimgt0  24162  argimlt0  24163  logimul  24164  logneg2  24165  logcnlem3  24190  dvloglem  24194  logf1o2  24196  efopnlem2  24203  cxpsqrtlem  24248  abscxpbnd  24294  logreclem  24300  ang180lem2  24340  asinneg  24413  asinsin  24419  asin1  24421  asinrecl  24429  atanlogaddlem  24440  atanlogsublem  24442  atanlogsub  24443  atantan  24450  atanbndlem  24452  birthday  24481  ppiub  24729  lgsdir2lem1  24850  ex-fl  26696  ex-ceil  26697  normlem2  27352  logi  30873  bj-pinftyccb  32285  bj-minftyccb  32289  bj-pinftynminfty  32291  cos2h  32570  tan2h  32571  renegclALT  33267  fourierdlem5  39005  fourierdlem9  39009  fourierdlem18  39018  fourierdlem24  39024  fourierdlem38  39038  fourierdlem40  39040  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  fourierdlem46  39045  fourierdlem50  39049  fourierdlem62  39061  fourierdlem66  39065  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem77  39076  fourierdlem78  39077  fourierdlem83  39082  fourierdlem85  39084  fourierdlem87  39086  fourierdlem88  39087  fourierdlem93  39092  fourierdlem94  39093  fourierdlem95  39094  fourierdlem101  39100  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  fourierdlem113  39112  fourierdlem114  39113  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fouriersw  39124  fouriercn  39125