Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos2sgn 14763
 Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 10967 . . . 4 2 ∈ ℝ
2 2pos 10989 . . . 4 0 < 2
31leidi 10441 . . . 4 2 ≤ 2
4 0xr 9965 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
5 elioc2 12107 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
64, 1, 5mp2an 704 . . . 4 (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
71, 2, 3, 6mpbir3an 1237 . . 3 2 ∈ (0(,]2)
8 sin02gt0 14761 . . 3 (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
97, 8ax-mp 5 . 2 0 < (sin‘2)
10 cos2bnd 14757 . . . 4 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
1110simpri 477 . . 3 (cos‘2) < -(1 / 9)
12 9re 10984 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 9pos 10999 . . . . 5 0 < 9
1412, 13recgt0ii 10808 . . . 4 0 < (1 / 9)
1512, 13gt0ne0ii 10443 . . . . . 6 9 ≠ 0
1612, 15rereccli 10669 . . . . 5 (1 / 9) ∈ ℝ
17 lt0neg2 10414 . . . . 5 ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
1914, 18mpbi 219 . . 3 -(1 / 9) < 0
20 recoscl 14710 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
211, 20ax-mp 5 . . . 4 (cos‘2) ∈ ℝ
2216renegcli 10221 . . . 4 -(1 / 9) ∈ ℝ
23 0re 9919 . . . 4 0 ∈ ℝ
2421, 22, 23lttri 10042 . . 3 (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
2511, 19, 24mp2an 704 . 2 (cos‘2) < 0
269, 25pm3.2i 470 1 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  7c7 10952  9c9 10954  (,]cioc 12047  sincsin 14633  cosccos 14634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640 This theorem is referenced by:  sin4lt0  14764  pilem3  24011
 Copyright terms: Public domain W3C validator