Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsubi 15614
 Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
Assertion
Ref Expression
modsubi ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnrei 10906 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
3 modsubi.5 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
4 modsubi.4 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
5 modsubi.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
64, 5nn0addcli 11207 . . . . . 6 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
76nn0rei 11180 . . . . 5 (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
83, 7eqeltrri 2685 . . . 4 𝐾 ∈ ℝ
92, 8pm3.2i 470 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)
105nn0rei 11180 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
1110renegcli 10221 . . . 4 -𝐵 ∈ ℝ
12 modsubi.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
13 nnrp 11718 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ+
1511, 14pm3.2i 470 . . 3 (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
16 modsubi.6 . . 3 (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
17 modadd1 12569 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
189, 15, 16, 17mp3an 1416 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
191nncni 10907 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
205nn0cni 11181 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2119, 20negsubi 10238 . . 3 (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵)
2221oveq1i 6559 . 2 ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁)
238recni 9931 . . . . 5 𝐾 ∈ ℂ
2423, 20negsubi 10238 . . . 4 (𝐾 + -𝐵) = (𝐾𝐵)
254nn0cni 11181 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
2623, 20, 25subadd2i 10248 . . . . 5 ((𝐾𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
273, 26mpbir 220 . . . 4 (𝐾𝐵) = 𝑀
2824, 27eqtri 2632 . . 3 (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
2928oveq1i 6559 . 2 ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
3018, 22, 293eqtr3i 2640 1 ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531 This theorem is referenced by:  1259lem5  15680  2503lem3  15684  4001lem4  15689
 Copyright terms: Public domain W3C validator