Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 24481
 Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k 𝐾 = 23
birthday.n 𝑁 = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 𝐾 = 23
2 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3 3nn0 11187 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11388 . . . 4 23 ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2684 . . 3 𝐾 ∈ ℕ0
6 birthday.n . . . 4 𝑁 = 365
7 6nn0 11190 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
83, 7deccl 11388 . . . . 5 36 ∈ ℕ0
9 5nn 11065 . . . . 5 5 ∈ ℕ
108, 9decnncl 11394 . . . 4 365 ∈ ℕ
116, 10eqeltri 2684 . . 3 𝑁 ∈ ℕ
12 birthday.s . . . 4 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13 birthday.t . . . 4 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
1412, 13birthdaylem3 24480 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
155, 11, 14mp2an 704 . 2 ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16 log2ub 24476 . . . . . 6 (log‘2) < (253 / 365)
175nn0cni 11181 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
1817sqvali 12805 . . . . . . . . . . 11 (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
1917mulid1i 9921 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 · 1) = 𝐾
2019eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝐾 · 1)
2118, 20oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
2317, 17, 22subdii 10358 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
2421, 23eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
2524oveq1i 6559 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
2617, 22subcli 10236 . . . . . . . . . 10 (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27 2cn 10968 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
28 2ne0 10990 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2917, 26, 27, 28divassi 10660 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30 1nn0 11185 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 2p1e3 11028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
32 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 22 = 22
332, 2, 31, 32decsuc 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (22 + 1) = 23
341, 33eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (22 + 1)
3534oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 − 1) = ((22 + 1) − 1)
362, 2deccl 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15 22 ∈ ℕ0
3736nn0cni 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 22 ∈ ℂ
3837, 22pncan3oi 10176 . . . . . . . . . . . . 13 ((22 + 1) − 1) = 22
3935, 38eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 − 1) = 22
4039oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 − 1) / 2) = (22 / 2)
41 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
42 0nn0 11184 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
4327mulid1i 9921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
4443oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + 0) = (2 + 0)
4527addid1i 10102 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 0) = 2
4644, 45eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 1) + 0) = 2
472dec0h 11398 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = 02
4843, 47eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 02
492, 30, 30, 41, 2, 42, 46, 48decmul2c 11465 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 11) = 22
5030, 30deccl 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
5150nn0cni 11181 . . . . . . . . . . . . 13 11 ∈ ℂ
5237, 27, 51, 28divmuli 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((22 / 2) = 11 ↔ (2 · 11) = 22)
5349, 52mpbir 220 . . . . . . . . . . 11 (22 / 2) = 11
5440, 53eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 − 1) / 2) = 11
5519, 1eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 1) = 23
56 3p2e5 11037 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
572, 3, 2, 55, 56decaddi 11455 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 · 1) + 2) = 25
585, 30, 30, 54, 3, 2, 57, 55decmul2c 11465 . . . . . . . . 9 (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = 253
5929, 58eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = 253
6025, 59eqtri 2632 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = 253
6160, 6oveq12i 6561 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (253 / 365)
6216, 61breqtrri 4610 . . . . 5 (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
63 2rp 11713 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
64 relogcl 24126 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6 (log‘2) ∈ ℝ
66 5nn0 11189 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
672, 66deccl 11388 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
6867, 3deccl 11388 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
6960, 68eqeltri 2684 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
7069nn0rei 11180 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
71 nndivre 10933 . . . . . . 7 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
7270, 11, 71mp2an 704 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
7365, 72ltnegi 10451 . . . . 5 ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
7462, 73mpbi 219 . . . 4 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
7572renegcli 10221 . . . . 5 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
7665renegcli 10221 . . . . 5 -(log‘2) ∈ ℝ
77 eflt 14686 . . . . 5 ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
7875, 76, 77mp2an 704 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
7974, 78mpbi 219 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
8065recni 9931 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
81 efneg 14667 . . . . 5 ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
8280, 81ax-mp 5 . . . 4 (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
83 reeflog 24131 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
8463, 83ax-mp 5 . . . . 5 (exp‘(log‘2)) = 2
8584oveq2i 6560 . . . 4 (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
8682, 85eqtri 2632 . . 3 (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
8779, 86breqtri 4608 . 2 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
8812, 13birthdaylem1 24478 . . . . . . . 8 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
8988simp2i 1064 . . . . . . 7 𝑆 ∈ Fin
9088simp1i 1063 . . . . . . 7 𝑇𝑆
91 ssfi 8065 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
9289, 90, 91mp2an 704 . . . . . 6 𝑇 ∈ Fin
93 hashcl 13009 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Fin → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
9492, 93ax-mp 5 . . . . 5 (#‘𝑇) ∈ ℕ0
9594nn0rei 11180 . . . 4 (#‘𝑇) ∈ ℝ
9688simp3i 1065 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
9711, 96ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ≠ ∅
98 hashnncl 13018 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9989, 98ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
10097, 99mpbir 220 . . . 4 (#‘𝑆) ∈ ℕ
101 nndivre 10933 . . . 4 (((#‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℕ) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ∈ ℝ)
10295, 100, 101mp2an 704 . . 3 ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ∈ ℝ
103 reefcl 14656 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
10475, 103ax-mp 5 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
105 halfre 11123 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
106102, 104, 105lelttri 10043 . 2 ((((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) < (1 / 2))
10715, 87, 106mp2an 704 1 ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) < (1 / 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  5c5 10950  6c6 10951  ℕ0cn0 11169  ;cdc 11369  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  #chash 12979  expce 14631  logclog 24105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-atan 24394 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator