Theorem birthday 24481

Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k	⊢ 𝐾 = ;23
birthday.n	⊢ 𝑁 = ;;365

Assertion

Ref	Expression
birthday	⊢ ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) < (1 / 2)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ;23
2		2nn0 11186	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 11187	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		birthday.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;;365
7		6nn0 11190	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
9		5nn 11065	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
10	8, 9	decnncl 11394	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
11	6, 10	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
14	12, 13	birthdaylem3 24480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
15	5, 11, 14	mp2an 704	. 2 ⊢ ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16		log2ub 24476	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
17	5	nn0cni 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18	17	sqvali 12805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
19	17	mulid1i 9921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 · 1) = 𝐾
20	19	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝐾 · 1)
21	18, 20	oveq12i 6561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	17, 17, 22	subdii 10358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
24	21, 23	eqtr4i 2635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
25	24	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
26	17, 22	subcli 10236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27		2cn 10968	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
29	17, 26, 27, 28	divassi 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30		1nn0 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		2p1e3 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
32		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;22 = ;22
33	2, 2, 31, 32	decsuc 11411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;22 + 1) = ;23
34	1, 33	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (;22 + 1)
35	34	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 − 1) = ((;22 + 1) − 1)
36	2, 2	deccl 11388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
37	36	nn0cni 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 ∈ ℂ
38	37, 22	pncan3oi 10176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;22 + 1) − 1) = ;22
39	35, 38	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 − 1) = ;22
40	39	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = (;22 / 2)
41		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 = ;11
42		0nn0 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
43	27	mulid1i 9921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = 2
44	43	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + 0) = (2 + 0)
45	27	addid1i 10102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 0) = 2
46	44, 45	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 1) + 0) = 2
47	2	dec0h 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = ;02
48	43, 47	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = ;02
49	2, 30, 30, 41, 2, 42, 46, 48	decmul2c 11465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ;11) = ;22
50	30, 30	deccl 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
51	50	nn0cni 11181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℂ
52	37, 27, 51, 28	divmuli 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;22 / 2) = ;11 ↔ (2 · ;11) = ;22)
53	49, 52	mpbir 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;22 / 2) = ;11
54	40, 53	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = ;11
55	19, 1	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 · 1) = ;23
56		3p2e5 11037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
57	2, 3, 2, 55, 56	decaddi 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 · 1) + 2) = ;25
58	5, 30, 30, 54, 3, 2, 57, 55	decmul2c 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = ;;253
59	29, 58	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = ;;253
60	25, 59	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ;;253
61	60, 6	oveq12i 6561	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (;;253 / ;;365)
62	16, 61	breqtrri 4610	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
63		2rp 11713	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64		relogcl 24126	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
66		5nn0 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
67	2, 66	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
68	67, 3	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
69	60, 68	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
70	69	nn0rei 11180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
71		nndivre 10933	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
72	70, 11, 71	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
73	65, 72	ltnegi 10451	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
74	62, 73	mpbi 219	. . . 4 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
75	72	renegcli 10221	. . . . 5 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
76	65	renegcli 10221	. . . . 5 ⊢ -(log‘2) ∈ ℝ
77		eflt 14686	. . . . 5 ⊢ ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
78	75, 76, 77	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
79	74, 78	mpbi 219	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
80	65	recni 9931	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
81		efneg 14667	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
83		reeflog 24131	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
84	63, 83	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
85	84	oveq2i 6560	. . . 4 ⊢ (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
86	82, 85	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
87	79, 86	breqtri 4608	. 2 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
88	12, 13	birthdaylem1 24478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
89	88	simp2i 1064	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
90	88	simp1i 1063	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
91		ssfi 8065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
92	89, 90, 91	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
93		hashcl 13009	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘𝑇) ∈ ℕ0
95	94	nn0rei 11180	. . . 4 ⊢ (#‘𝑇) ∈ ℝ
96	88	simp3i 1065	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
97	11, 96	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
98		hashnncl 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
99	89, 98	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
100	97, 99	mpbir 220	. . . 4 ⊢ (#‘𝑆) ∈ ℕ
101		nndivre 10933	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℕ) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ∈ ℝ)
102	95, 100, 101	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ∈ ℝ
103		reefcl 14656	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
104	75, 103	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
105		halfre 11123	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
106	102, 104, 105	lelttri 10043	. 2 ⊢ ((((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) < (1 / 2))
107	15, 87, 106	mp2an 704	1 ⊢ ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) < (1 / 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  5c5 10950  6c6 10951  ℕ₀cn0 11169  ;cdc 11369  ℝ⁺crp 11708  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  #chash 12979  expce 14631  logclog 24105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-atan 24394

This theorem is referenced by: (None)