Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 26696
 Description: Example for df-fl 12455. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 9918 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 10971 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11158 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11072 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4604 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 10989 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 10967 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 10823 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 219 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10039 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11074 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11054 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4610 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 10777 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1416 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 220 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 10956 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4608 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 11284 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 12479 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 704 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 957 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10221 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10221 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 10451 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 219 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10039 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10228 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10218 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 704 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10230 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 6559 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2632 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 11012 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 4604 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 4604 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 9932 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 10458 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 219 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 11286 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 11289 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 12479 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 704 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 957 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 470 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455 This theorem is referenced by:  ex-ceil  26697
 Copyright terms: Public domain W3C validator