MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Unicode version

Theorem ex-fl 25289
Description: Example for df-fl 11828. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 9506 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 3re 10526 . . . . 5  |-  3  e.  RR
32rehalfcli 10704 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
4 2cn 10523 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54mulid2i 9510 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6 2lt3 10620 . . . . . 6  |-  2  <  3
75, 6eqbrtri 4386 . . . . 5  |-  ( 1  x.  2 )  <  3
8 2pos 10544 . . . . . 6  |-  0  <  2
9 2re 10522 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
101, 2, 9ltmuldivi 10382 . . . . . 6  |-  ( 0  <  2  ->  (
( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  / 
2 ) ) )
118, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  /  2 ) )
127, 11mpbi 208 . . . 4  |-  1  <  ( 3  /  2
)
131, 3, 12ltleii 9618 . . 3  |-  1  <_  ( 3  /  2
)
14 3lt4 10622 . . . . . 6  |-  3  <  4
15 2t2e4 10602 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15breqtrri 4392 . . . . 5  |-  3  <  ( 2  x.  2 )
179, 8pm3.2i 453 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
18 ltdivmul 10334 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  (
2  x.  2 ) ) )
192, 9, 17, 18mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2016, 19mpbir 209 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  <  2
21 df-2 10511 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2220, 21breqtri 4390 . . 3  |-  ( 3  /  2 )  < 
( 1  +  1 )
23 1z 10811 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
24 flbi 11851 . . . 4  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 3  /  2
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  (
3  /  2 )  /\  ( 3  / 
2 )  <  (
1  +  1 ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 670 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( 3  / 
2 )  /\  (
3  /  2 )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2613, 22, 25mpbir2an 918 . 2  |-  ( |_
`  ( 3  / 
2 ) )  =  1
279renegcli 9793 . . . 4  |-  -u 2  e.  RR
283renegcli 9793 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
293, 9ltnegi 10014 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  -u 2  <  -u ( 3  /  2
) )
3020, 29mpbi 208 . . . 4  |-  -u 2  <  -u ( 3  / 
2 )
3127, 28, 30ltleii 9618 . . 3  |-  -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )
324negcli 9800 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  CC
33 ax-1cn 9461 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
34 negdi2 9790 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 ) )
3532, 33, 34mp2an 670 . . . . . 6  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 )
364negnegi 9802 . . . . . . 7  |-  -u -u 2  =  2
3736oveq1i 6206 . . . . . 6  |-  ( -u -u 2  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
3835, 37eqtri 2411 . . . . 5  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10567 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4039, 12eqbrtri 4386 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  < 
( 3  /  2
)
4138, 40eqbrtri 4386 . . . 4  |-  -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  / 
2 )
4227, 1readdcli 9520 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  1 )  e.  RR
4342, 3ltnegcon1i 10021 . . . 4  |-  ( -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  /  2 )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( -u 2  +  1 ) )
4441, 43mpbi 208 . . 3  |-  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 )
45 2z 10813 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
46 znegcl 10816 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
4745, 46ax-mp 5 . . . 4  |-  -u 2  e.  ZZ
48 flbi 11851 . . . 4  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  RR  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2  <->  ( -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )  /\  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) ) )
4928, 47, 48mp2an 670 . . 3  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  <->  (
-u 2  <_  -u (
3  /  2 )  /\  -u ( 3  / 
2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) )
5031, 44, 49mpbir2an 918 . 2  |-  ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2
5126, 50pm3.2i 453 1  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   2c2 10502   3c3 10503   4c4 10504   ZZcz 10781   |_cfl 11826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fl 11828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator