MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Unicode version

Theorem ex-fl 23791
Description: Example for df-fl 11745. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 9488 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 3re 10498 . . . . 5  |-  3  e.  RR
32rehalfcli 10676 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
4 2cn 10495 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54mulid2i 9492 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6 2lt3 10592 . . . . . 6  |-  2  <  3
75, 6eqbrtri 4411 . . . . 5  |-  ( 1  x.  2 )  <  3
8 2pos 10516 . . . . . 6  |-  0  <  2
9 2re 10494 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
101, 2, 9ltmuldivi 10356 . . . . . 6  |-  ( 0  <  2  ->  (
( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  / 
2 ) ) )
118, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  /  2 ) )
127, 11mpbi 208 . . . 4  |-  1  <  ( 3  /  2
)
131, 3, 12ltleii 9600 . . 3  |-  1  <_  ( 3  /  2
)
14 3lt4 10594 . . . . . 6  |-  3  <  4
15 2t2e4 10574 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15breqtrri 4417 . . . . 5  |-  3  <  ( 2  x.  2 )
179, 8pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
18 ltdivmul 10307 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  (
2  x.  2 ) ) )
192, 9, 17, 18mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2016, 19mpbir 209 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  <  2
21 df-2 10483 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2220, 21breqtri 4415 . . 3  |-  ( 3  /  2 )  < 
( 1  +  1 )
23 1z 10779 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
24 flbi 11767 . . . 4  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 3  /  2
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  (
3  /  2 )  /\  ( 3  / 
2 )  <  (
1  +  1 ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 672 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( 3  / 
2 )  /\  (
3  /  2 )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2613, 22, 25mpbir2an 911 . 2  |-  ( |_
`  ( 3  / 
2 ) )  =  1
279renegcli 9773 . . . 4  |-  -u 2  e.  RR
283renegcli 9773 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
293, 9ltnegi 9987 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  -u 2  <  -u ( 3  /  2
) )
3020, 29mpbi 208 . . . 4  |-  -u 2  <  -u ( 3  / 
2 )
3127, 28, 30ltleii 9600 . . 3  |-  -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )
324negcli 9779 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  CC
33 ax-1cn 9443 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
34 negdi2 9770 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . . . . 6  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 )
364negnegi 9781 . . . . . . 7  |-  -u -u 2  =  2
3736oveq1i 6202 . . . . . 6  |-  ( -u -u 2  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
3835, 37eqtri 2480 . . . . 5  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10539 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4039, 12eqbrtri 4411 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  < 
( 3  /  2
)
4138, 40eqbrtri 4411 . . . 4  |-  -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  / 
2 )
4227, 1readdcli 9502 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  1 )  e.  RR
4342, 3ltnegcon1i 9994 . . . 4  |-  ( -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  /  2 )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( -u 2  +  1 ) )
4441, 43mpbi 208 . . 3  |-  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 )
45 2z 10781 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
46 znegcl 10783 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
4745, 46ax-mp 5 . . . 4  |-  -u 2  e.  ZZ
48 flbi 11767 . . . 4  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  RR  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2  <->  ( -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )  /\  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) ) )
4928, 47, 48mp2an 672 . . 3  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  <->  (
-u 2  <_  -u (
3  /  2 )  /\  -u ( 3  / 
2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) )
5031, 44, 49mpbir2an 911 . 2  |-  ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2
5126, 50pm3.2i 455 1  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698   -ucneg 9699    / cdiv 10096   2c2 10474   3c3 10475   4c4 10476   ZZcz 10749   |_cfl 11743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fl 11745
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator