Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem2 27352
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
Assertion
Ref Expression
normlem2 𝐵 ∈ ℝ

Proof of Theorem normlem2
StepHypRef Expression
1 normlem2.4 . 2 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2 normlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ ℂ
32cjcli 13757 . . . . . . . 8 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
4 normlem1.2 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℋ
5 normlem1.3 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ ℋ
64, 5hicli 27322 . . . . . . . 8 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
73, 6mulcli 9924 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
85, 4hicli 27322 . . . . . . . 8 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
92, 8mulcli 9924 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
107, 9cjaddi 13776 . . . . . 6 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
112cjcji 13759 . . . . . . . . . 10 (∗‘(∗‘𝑆)) = 𝑆
1211eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 𝑆 = (∗‘(∗‘𝑆))
135, 4his1i 27341 . . . . . . . . 9 (𝐺 ·ih 𝐹) = (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺))
1412, 13oveq12i 6561 . . . . . . . 8 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
153, 6cjmuli 13777 . . . . . . . 8 (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
1614, 15eqtr4i 2635 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
174, 5his1i 27341 . . . . . . . . 9 (𝐹 ·ih 𝐺) = (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹))
1817oveq2i 6560 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
192, 8cjmuli 13777 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
2018, 19eqtr4i 2635 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2116, 20oveq12i 6561 . . . . . 6 ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
2210, 21eqtr4i 2635 . . . . 5 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
237, 9addcomi 10106 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2422, 23eqtr4i 2635 . . . 4 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
257, 9addcli 9923 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2625cjrebi 13762 . . . 4 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
2724, 26mpbir 220 . . 3 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
2827renegcli 10221 . 2 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
291, 28eqeltri 2684 1 𝐵 ∈ ℝ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146  ∗ccj 13684   ℋchil 27160   ·ih csp 27163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hfi 27320  ax-his1 27323 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689 This theorem is referenced by:  normlem3  27353  normlem6  27356  normlem7  27357  norm-ii-i  27378
 Copyright terms: Public domain W3C validator