Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqwvfourb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqwvfourb 39122
 Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 24014 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10221 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 38433 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10039 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 24016 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10039 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 12110 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1237 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 elioore 12076 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
1615renegcli 10221 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1715, 16keepel 4105 . . . . . . 7 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1918fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2014, 17, 19sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
2117a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
2221recnd 9947 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
2320, 22eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nncnd 10913 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2714recnd 9947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2826, 27mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
2928sincld 14699 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
3023, 29mulcld 9939 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31 elioore 12076 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3231, 17, 19sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
35 2rp 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
36 pirp 24017 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
37 rpmulcl 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
3934, 38eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4131, 40modcld 12536 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42 picn 24015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43422timesi 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) = (π + π)
4434, 43eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (π + π)
4544oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
462recni 9931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℂ
4746, 42, 42addassi 9927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4842negidi 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π + -π) = 0
4942, 46, 48addcomli 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π + π) = 0
5049oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5142addid2i 10103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + π) = π
5250, 51eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = π
5345, 47, 523eqtr2ri 2639 . . . . . . . . . . . . . 14 π = (-π + 𝑇)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 9933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5834, 57eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 9976 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
61 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
62 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6360, 61, 62mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 10517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6554, 64eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6658recni 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
6766mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
6867eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
6968oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7069oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7131, 59readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7572, 71, 74ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7760, 61, 76mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 10517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
7959recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8079addid2d 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8178, 80breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82 modid 12557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85 modcyc 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8631, 40, 84, 85syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8770, 83, 863eqtr3a 2668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8865, 87breqtrd 4609 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
8933, 41, 88ltnsymd 10065 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9089iffalsed 4047 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9132, 90eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9291adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹𝑥) = -1)
9392oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
9493mpteq2dva 4672 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95 neg1cn 11001 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
9695a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9724nnred 10912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
9897adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9931adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10098, 99remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101100resincld 14712 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102 ioossicc 12130 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103102a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104 ioombl 23140 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10697adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1082, 5, 107mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
109108sseli 3564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112111resincld 14712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113 0red 9920 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114 sincn 24002 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
117108, 116sstri 3577 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119 ssid 3587 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121118, 25, 120constcncfg 38756 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122118, 120idcncfg 38757 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123121, 122mulcncf 23023 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124115, 123cncfmpt1f 22524 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125 cniccibl 23413 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1263, 113, 124, 125syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
127103, 105, 112, 126iblss 23377 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
12896, 101, 127iblmulc2 23403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
12994, 128eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ*)
1311rexri 9976 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
133 elioore 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
13861, 131, 137mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 10077 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
14161, 131, 140mp3an12 1406 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142130, 132, 133, 139, 141eliood 38567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143142, 20sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
145135, 133, 138ltled 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148 2timesgt 38441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < (2 · π)
150149, 34breqtrri 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 10077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 12557 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 141eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4044 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157156adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158143, 157eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹𝑥) = 1)
159158oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160142, 29sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161160mulid2d 9937 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162159, 161eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163162mpteq2dva 4672 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164 ioossicc 12130 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166 ioombl 23140 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
167166a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16897adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169 iccssre 12126 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1705, 1, 169mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
171170sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173168, 172remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174173resincld 14712 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175170, 116sstri 3577 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177176, 25, 120constcncfg 38756 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178176, 120idcncfg 38757 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 178mulcncf 23023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180115, 179cncfmpt1f 22524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181 cniccibl 23413 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
182113, 4, 180, 181syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183165, 167, 174, 182iblss 23377 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184163, 183eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 23410 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186185oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18791oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188187adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ*)
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 10077 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192189, 190, 31, 63, 191eliood 38567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193192, 29sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194193mulm1d 10361 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195188, 194eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196195itgeq2dv 23354 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197101, 127itgneg 23376 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
19824nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ 0)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 38866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
20124nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
202 cosknegpi 38752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
20425mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205204fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206 cos0 14719 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
207205, 206syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208203, 207oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
210 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211210oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213209, 211, 2123eqtr4a 2670 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215214oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
217 negdi2 10218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218216, 216, 217mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(1 + 1) = (-1 − 1)
219218eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 − 1) = -(1 + 1)
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
222 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
223222negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . 14 -(1 + 1) = -2
224221, 223syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225215, 220, 2243eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226213, 225pm2.61i 175 . . . . . . . . . . 11 (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227208, 226syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228227oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229200, 228eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230229negeqd 10154 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231 0cn 9911 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
232 2cn 10968 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
233232negcli 10228 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℂ
234231, 233keepel 4105 . . . . . . . . 9 if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236235, 25, 198divnegd 10693 . . . . . . 7 (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237 neg0 10206 . . . . . . . . . . 11 -0 = 0
238212negeqd 10154 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240237, 238, 2393eqtr4a 2670 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241232negnegi 10230 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
242221negeqd 10154 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243 iffalse 4045 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244241, 242, 2433eqtr4a 2670 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245240, 244pm2.61i 175 . . . . . . . . 9 -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246245oveq1i 6559 . . . . . . . 8 (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247246a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248230, 236, 2473eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249196, 197, 2483eqtr2d 2650 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250133, 17, 19sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251250, 156eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
252251oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253252adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254253, 161eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255254itgeq2dv 23354 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
2569a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ π)
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 38866 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258 coskpi2 38749 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260207, 259oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261210oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262209, 261, 2393eqtr4a 2670 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263214oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264216, 216subnegi 10239 . . . . . . . . . . 11 (1 − -1) = (1 + 1)
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266243, 222syl6reqr 2663 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267263, 265, 2663eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268262, 267pm2.61i 175 . . . . . . . 8 (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269260, 268syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270269oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271255, 257, 2703eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272249, 271oveq12d 6567 . . . 4 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273231, 232keepel 4105 . . . . . 6 if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274273a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275274, 274, 25, 198divdird 10718 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276239, 239oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277 00id 10090 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
278276, 277syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279278oveq1d 6564 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280279adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
28125, 198div0d 10679 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282281adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283 iftrue 4042 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284283eqcomd 2616 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285284adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286280, 282, 2853eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287243, 243oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288 2p2e4 11021 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
289287, 288syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290289oveq1d 6564 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291 iffalse 4045 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292290, 291eqtr4d 2647 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293292adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294286, 293pm2.61dan 828 . . . 4 (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295272, 275, 2943eqtr2d 2650 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296295oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297283oveq1d 6564 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298297adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
2995, 8gtneii 10028 . . . . . 6 π ≠ 0
30042, 299div0i 10638 . . . . 5 (0 / π) = 0
301300a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302 iftrue 4042 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303302eqcomd 2616 . . . . 5 (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304303adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305298, 301, 3043eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306291oveq1d 6564 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307306adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308 4cn 10975 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
309308a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
31042a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
311299a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ≠ 0)
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 10711 . . . . 5 (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314 iffalse 4045 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315314eqcomd 2616 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316315adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317307, 313, 3163eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318305, 317pm2.61dan 828 . 2 (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319186, 296, 3183eqtrd 2648 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  4c4 10949  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049   mod cmo 12530  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636   ∥ cdvds 14821  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fouriersw  39124
 Copyright terms: Public domain W3C validator