Theorem renegcl 10223

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4089 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10221, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10152	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 9918	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4100	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 10221	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4089	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  ℝcr 9814  1c1 9816  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  resubcl  10224  negreb  10225  renegcld  10336  negn0  10338  negf1o  10339  ltnegcon1  10408  ltnegcon2  10409  lenegcon1  10411  lenegcon2  10412  mullt0  10426  mulge0b  10772  mulle0b  10773  negfi  10850  fiminre  10851  infm3lem  10860  infm3  10861  riotaneg  10879  elnnz  11264  btwnz  11355  ublbneg  11649  supminf  11651  uzwo3  11659  zmax  11661  rebtwnz  11663  rpneg  11739  negelrp  11740  max0sub  11901  xnegcl  11918  xnegneg  11919  xltnegi  11921  rexsub  11938  xnegid  11943  xnegdi  11950  xpncan  11953  xnpcan  11954  xadddi  11997  iooneg  12163  iccneg  12164  icoshftf1o  12166  dfceil2  12502  ceicl  12504  ceige  12506  ceim1l  12508  negmod0  12539  negmod  12577  addmodlteq  12607  crim  13703  cnpart  13828  sqrtneglem  13855  absnid  13886  max0add  13898  absdiflt  13905  absdifle  13906  sqreulem  13947  resinhcl  14725  rpcoshcl  14726  tanhlt1  14729  tanhbnd  14730  remulg  19772  resubdrg  19773  cnheiborlem  22561  evth2  22567  ismbf3d  23227  mbfinf  23238  itgconst  23391  reeff1o  24005  atanbnd  24453  sgnneg  29929  ltflcei  32567  cos2h  32570  iblabsnclem  32643  ftc1anclem1  32655  areacirclem2  32671  areacirclem3  32672  areacirc  32675  mulltgt0  38204  limsupre  38708  stoweidlem10  38903  etransclem46  39173