Theorem atanlogsublem 24442

Description: Lemma for atanlogsub 24443. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsublem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Proof of Theorem atanlogsublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9873	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-icn 9874	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
3		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom arctan)
4		atandm2 24404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
5	3, 4	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
6	5	simp1d 1066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		mulcl 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		addcl 9897	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	1, 8, 9	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5	simp3d 1068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
12	10, 11	logcld 24121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		subcl 10159	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	1, 8, 13	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	5	simp2d 1067	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 24121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17	12, 16	imsubd 13805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → i ∈ ℂ)
19	18, 6, 18	subdid 10365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = ((i · 𝐴) − (i · i)))
20		ixi 10535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
21	20	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) − -1)
22		subneg 10209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
23	8, 1, 22	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
24	21, 23	syl5eq 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) + 1))
25		addcom 10101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
26	8, 1, 25	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
27	19, 24, 26	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = (1 + (i · 𝐴)))
28	27	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
29		subcl 10159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
30	6, 2, 29	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
31		resub 13715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
32	6, 2, 31	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
33		rei 13744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℜ‘i) = 0
34	33	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) − 0)
35	6	recld 13782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
36	35	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
37	36	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − 0) = (ℜ‘𝐴))
38	34, 37	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
39	32, 38	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘𝐴))
40		gt0ne0 10372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
41	35, 40	sylancom 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
42	39, 41	eqnetrd 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0)
43		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘0))
44		re0 13740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘0) = 0
45	43, 44	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = 0)
46	45	necon3i 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0 → (𝐴 − i) ≠ 0)
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ≠ 0)
48		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
49		0re 9919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
50		ltle 10005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
51	49, 35, 50	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
53	52, 39	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i)))
54		logimul 24164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i))) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
55	30, 47, 53, 54	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
56	28, 55	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
57	56	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))))
58	30, 47	logcld 24121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ)
59		halfpire 24020	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
60	59	recni 9931	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
61	2, 60	mulcli 9924	. . . . . . 7 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
62		imadd 13722	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
63	58, 61, 62	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
64		reim 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
65	60, 64	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
66		rere 13710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
67	59, 66	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
68	65, 67	eqtr3i 2634	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
69	68	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2))
70	63, 69	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
71	57, 70	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
72		addcl 9897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
73	6, 2, 72	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
74		mulcl 9899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
75	2, 73, 74	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
76		reim 13697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
78		readd 13714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
79	6, 2, 78	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
80	33	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) + 0)
81	36	addid1d 10115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
82	80, 81	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
83	79, 82	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘𝐴))
84	77, 83	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (𝐴 + i))) = (ℜ‘𝐴))
85	48, 84	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
86		logneg2 24165	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i)))) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
87	75, 85, 86	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
88	18, 6, 18	adddid 9943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) + (i · i)))
89	20	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) + -1)
90		negsub 10208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
91	8, 1, 90	sylancl 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
92	89, 91	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) − 1))
93	88, 92	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) − 1))
94	93	negeqd 10154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = -((i · 𝐴) − 1))
95		negsubdi2 10219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
96	8, 1, 95	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
97	94, 96	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = (1 − (i · 𝐴)))
98	97	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
99	83, 41	eqnetrd 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0)
100		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘0))
101	100, 44	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = 0)
102	101	necon3i 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0 → (𝐴 + i) ≠ 0)
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ≠ 0)
104	52, 83	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i)))
105		logimul 24164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i))) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
106	73, 103, 104, 105	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
107	106	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)))
108	73, 103	logcld 24121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ)
109	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (π / 2)) ∈ ℂ)
110		picn 24015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
111	2, 110	mulcli 9924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · π) ∈ ℂ)
113	108, 109, 112	addsubassd 10291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
114	107, 113	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
115	87, 98, 114	3eqtr3d 2652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
116	115	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))))
117	61, 111	subcli 10236	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ
118		imadd 13722	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
119	108, 117, 118	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
120		imsub 13723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))))
121	61, 111, 120	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π)))
122		reim 13697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
123	110, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
124		pire 24014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
125		rere 13710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
126	124, 125	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = π
127	123, 126	eqtr3i 2634	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
128	68, 127	oveq12i 6561	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))) = ((π / 2) − π)
129	60	negcli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
130	110, 60	negsubi 10238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
131		pidiv2halves 24023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
132	110, 60, 60, 131	subaddrii 10249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
133	130, 132	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
134	60, 110, 129, 133	subaddrii 10249	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
135	121, 128, 134	3eqtri 2636	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = -(π / 2)
136	135	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))
137	119, 136	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
138	116, 137	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
139	71, 138	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))))
140	58	imcld 13783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℝ)
141	140	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℂ)
142	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℂ)
143	108	imcld 13783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℂ)
145	129	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) ∈ ℂ)
146	141, 142, 144, 145	addsub4d 10318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))))
147	60, 60	subnegi 10239	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
148	147, 131	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
149	148	oveq2i 6560	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)
150	146, 149	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
151	17, 139, 150	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
152	140, 143	resubcld 10337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ)
153		readdcl 9898	. . . 4 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
154	152, 124, 153	sylancl 693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
155	124	renegcli 10221	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
156	155	recni 9931	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℂ
157	156, 110	negsubi 10238	. . . . 5 ⊢ (-π + -π) = (-π − π)
158	155	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
159	143	renegcld 10336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
160	30, 47	logimcld 24122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ≤ π))
161	160	simpld 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))))
162	73, 103	logimcld 24122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π))
163	162	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π)
164		leneg 10410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
165	143, 124, 164	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
166	163, 165	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
167	158, 158, 140, 159, 161, 166	ltleaddd 10527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
168	141, 144	negsubd 10277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
169	167, 168	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
170	157, 169	syl5eqbrr 4619	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
171	124	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
172	158, 171, 152	ltsubaddd 10502	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ↔ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)))
173	170, 172	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
174		0red 9920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
175	6	imcld 13783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
176		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
178		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
179	175, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
180	175	ltm1d 10835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < (ℑ‘𝐴))
181	175	ltp1d 10833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
182	177, 175, 179, 180, 181	lttrd 10077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
183		ltdiv1 10766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
184	177, 179, 35, 48, 183	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
185	182, 184	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
186		imsub 13723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
187	6, 2, 186	sylancl 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
188		imi 13745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘i) = 1
189	188	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1)
190	187, 189	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1))
191	190, 39	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) = (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)))
192		imadd 13722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
193	6, 2, 192	sylancl 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
194	188	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1)
195	193, 194	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1))
196	195, 83	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))) = (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
197	185, 191, 196	3brtr4d 4615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) < ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
198		tanarg 24169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
199	30, 42, 198	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
200		tanarg 24169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
201	73, 99, 200	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
202	197, 199, 201	3brtr4d 4615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
203	48, 39	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 − i)))
204		argregt0 24160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 − i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
205	30, 203, 204	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
206	48, 83	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 + i)))
207		argregt0 24160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 + i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
208	73, 206, 207	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
209		tanord 24088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
210	205, 208, 209	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
211	202, 210	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
212	144	addid2d 10116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
213	211, 212	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
214	140, 143, 174	ltsubaddd 10502	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0 ↔ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
215	213, 214	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0)
216	152, 174, 171, 215	ltadd1dd 10517	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < (0 + π))
217	110	addid2i 10103	. . . 4 ⊢ (0 + π) = π
218	216, 217	syl6breq 4624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)
219	155	rexri 9976	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ*
220	124	rexri 9976	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ*
221		elioo2 12087	. . . 4 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)))
222	219, 220, 221	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π))
223	154, 173, 218, 222	syl3anbrc 1239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π))
224	151, 223	eqeltrd 2688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  (,)cioo 12046  ℜcre 13685  ℑcim 13686  tanctan 14635  πcpi 14636  logclog 24105  arctancatan 24391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-atan 24394

This theorem is referenced by:  atanlogsub  24443  atanbndlem  24452