MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd1dd 10517
Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltadd1dd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd1dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem ltadd1dd
StepHypRef Expression
1 ltadd1dd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd1d 10499 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
61, 5mpbid 221 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814   + caddc 9818   < clt 9953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  fzoaddel  12388  elincfzoext  12393  fladdz  12488  fzsdom2  13075  sadcaddlem  15017  iserodd  15378  4sqlem12  15498  efif1olem1  24092  atanlogsublem  24442  subfacval3  30425  poimirlem15  32594  itg2addnclem3  32633  rmspecfund  36492  jm2.24nn  36544  ltadd12dd  38500  infleinflem2  38528  iooshift  38595  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stirlinglem5  38971  dirkercncflem1  38996  fourierdlem19  39019  fourierdlem35  39035  fourierdlem41  39041  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem51  39050  fourierdlem64  39063  fourierdlem79  39078  fourierdlem81  39080  fourierdlem92  39091  fourierdlem112  39111  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fouriersw  39124  smflimlem4  39660  2pwp1prm  40041
  Copyright terms: Public domain W3C validator