Theorem renegcld 10336

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 10223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ℝcr 9814  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  ltord2  10436  leord2  10437  eqord2  10438  possumd  10531  recgt0  10746  prodge0  10749  riotaneg  10879  negiso  10880  nn0negleid  11222  difgtsumgt  11223  nnnegz  11257  modsub12d  12589  monoord2  12694  discr1  12862  discr  12863  recj  13712  reneg  13713  imcj  13720  imneg  13721  abslt  13902  absle  13903  o1lo1  14116  o1lo12  14117  icco1  14119  rlimrege0  14158  lo1sub  14209  iseraltlem2  14261  infcvgaux1i  14428  absefib  14767  efieq1re  14768  moddvds  14829  bitscmp  14998  bitsinv1lem  15001  mulgnegnn  17374  cnsubrg  19625  xrhmeo  22553  pjthlem1  23016  ivth2  23031  ovolshft  23086  shftmbl  23113  volsup2  23179  volivth  23181  mbfmulc2lem  23220  mbfposr  23225  mbfposb  23226  ismbf3d  23227  mbfmulc2  23236  mbfinf  23238  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  mbfi1flimlem  23295  itg2monolem1  23323  iblposlem  23364  iblre  23366  itgreval  23369  itgneg  23376  i1fibl  23380  itgitg1  23381  itgle  23382  ibladd  23393  itgaddlem2  23396  iblabslem  23400  itgmulc2lem2  23405  itgmulc2  23406  dvferm2lem  23553  dvferm2  23554  rolle  23557  dvivth  23577  lhop2  23582  dvfsumge  23589  dvfsumlem2  23594  dvfsum2  23601  coseq0negpitopi  24059  tanabsge  24062  tanord  24088  tanregt0  24089  abslogimle  24124  logcj  24156  argimgt0  24162  logdiv2  24167  logcnlem3  24190  dvloglem  24194  logccv  24209  abscxpbnd  24294  logreclem  24300  asinlem3a  24397  asinneg  24413  atanlogsublem  24442  atantan  24450  atans2  24458  birthdaylem3  24480  cxplim  24498  amgmlem  24516  emcllem7  24528  zetacvg  24541  eldmgm  24548  lgamgulmlem2  24556  lgsneg  24846  lgsdilem  24849  lgseisenlem1  24900  pntpbnd1  25075  pntibndlem2  25080  padicabvcxp  25121  ostth3  25127  axsegconlem9  25605  nvabs  26911  pjhthlem1  27634  xlt2addrd  28913  xrge0iifcnv  29307  xrge0iifiso  29309  xrge0iifhom  29311  dya2ub  29659  sgnmul  29931  signsply0  29954  climlec3  30872  poimirlem29  32608  itg2gt0cn  32635  ibladdnc  32637  itgaddnclem2  32639  iblabsnclem  32643  itgmulc2nclem2  32647  itgmulc2nc  32648  bddiblnc  32650  ftc1anclem5  32659  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  areacirclem5  32674  areacirc  32675  pellexlem6  36416  pell1234qrdich  36443  acongeq  36568  radcnvrat  37535  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577  neglt  38437  fperiodmul  38459  supsubc  38510  ltmulneg  38556  stoweidlem1  38894  stoweidlem7  38900  stoweidlem13  38906  stoweidlem23  38916  stoweidlem34  38927  stoweidlem42  38935  stoweidlem47  38940  stirlinglem6  38972  stirlinglem10  38976  fourierdlem24  39024  fourierdlem39  39039  fourierdlem40  39040  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem58  39057  fourierdlem62  39061  fourierdlem72  39071  fourierdlem78  39077  fourierdlem83  39082  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem92  39091  fourierdlem97  39096  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem109  39108  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  sqwvfoura  39121  etransclem23  39150  etransclem46  39173  hoicvr  39438  hoicvrrex  39446  sigaradd  39704  proththd  40069  dignn0flhalflem1  42207  amgmwlem  42357